図Iのような円弧の一部を切り取った同形同大の図形が6個あります。各図形の両端を結んだ直線が、平行および垂直になるようにこれら6個の図形を並べると図IIのようになり、このとき、幅の一番短い部分が4cm、一番長い部分が10cmでした。この図形で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

図Iのような円弧の一部を切り取った同形同大の図形が6個あります。各図形の両端を結んだ直線が、平行および垂直になるようにこれら6個の図形を並べると図IIのようになり、このとき、幅の一番短い部分が4cm、一番長い部分が10cmでした。この図形で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

図IIの図形は、正方形から円弧を切り取ったような図形が6個組み合わさってできています。

まず、図II全体の外側の正方形の一辺の長さを求めます。

図IIの最も短い部分の長さは4cm、最も長い部分の長さは10cmなので、円弧の半径は $(10-4)/2 = 3$ cm となります。

外側の正方形の一辺の長さは、4cm + 2 * 3cm = 10cm です。

したがって、外側の正方形の面積は、$10 \times 10 = 100$ cm² です。

次に、内側の正六角形の面積を求めます。

正六角形は、一辺の長さが4cmの正三角形6個で構成されています。

正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{一辺の長さ})^2$ で求められます。

したがって、正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$ cm² です。

正六角形の面積は、$6 \times 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ cm² です。

図IIで囲まれた部分の面積は、正方形の面積から正六角形の面積を引いたものに等しくなります。

求める面積は、$10 \times 10 - 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 100 - 24 \sqrt{3}$ cm² です。

ここで、$\sqrt{3} \approx 1.732$ とすると、

$24\sqrt{3} \approx 24 \times 1.732 \approx 41.568$

したがって、$100 - 41.568 \approx 58.432$ cm² となります。

しかしながら、この方法は複雑になるので、別の解法を探します。

図IIの図形は、正六角形の外側に6つの同じ図形が配置されたものです。

正六角形の各頂点を中心とする円弧の半径は $(10-4)/2 = 3$ cm です。

したがって、外側の正方形の一辺の長さは、$4 + 2 \times 3 = 10$ cm となります。

正六角形の内部には、一辺が4cmの正六角形があります。

正六角形の面積は、6個の正三角形で構成されています。

正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{一辺})^2$ です。

したがって、正六角形の面積は、$6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 24\sqrt{3}$ cm² です。

図IIの外側の面積は、一辺の長さが10cmの正方形から、6個の図形を取り除いたものです。

外側の正方形の面積は、$10^2 = 100$ cm² です。

6個の図形を組み合わせてできる図形の面積を求めます。

各図形は、正方形から円弧を切り取ったような形状をしています。

各図形の面積は、$\pi r^2 / 6 - 3^2/2 = \pi 3^2 / 6 = 1.5 \pi$

$6 \times 16 + 6 \times 9 / 4$

外側の正方形の面積から、6個の三日月型の図形の面積を引きます。

三日月型の面積は、$\pi (3^2) /6 + (\text{一辺が3の正三角形}) = 1.5\pi + 9\sqrt{3} / 4 = 1.5(3.14) + 9\sqrt{3}/4$

正六角形の内側には、一辺が4cmの正六角形があり、その面積は、$6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 24\sqrt{3}$ cm² です。

答えは$108$ です

3. 最終的な答え

3 108cm²