空間のベクトル $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $\vec{p} = (1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$, $\vec{q} = (-1, \sqrt{3}, 2)$ が与えられている。 $\alpha = \vec{p} \cdot \vec{a}$, $\beta = \vec{q} \cdot \vec{a}$ とおく。 $\vec{b} = \vec{p} - \alpha \vec{a}$, $\vec{c} = \vec{q} - \beta \vec{a} - \frac{\vec{q} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$ とする。 (1) $\vec{b}$, $\vec{c}$ を成分で表せ。 (2) 座標空間の原点を $O$ とする。$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ となる3点 $A, B, C$ に対して、四面体 $OABC$ の体積 $V$ を求めよ。

1. 問題の内容

空間のベクトル $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $\vec{p} = (1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$, $\vec{q} = (-1, \sqrt{3}, 2)$ が与えられている。

$\alpha = \vec{p} \cdot \vec{a}$, $\beta = \vec{q} \cdot \vec{a}$ とおく。

$\vec{b} = \vec{p} - \alpha \vec{a}$, $\vec{c} = \vec{q} - \beta \vec{a} - \frac{\vec{q} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$ とする。

(1) $\vec{b}$, $\vec{c}$ を成分で表せ。

(2) 座標空間の原点を $O$ とする。$\vec{a} = \overrightarrow{OA}$, $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$, $\vec{c} = \overrightarrow{OC}$ となる3点 $A, B, C$ に対して、四面体 $OABC$ の体積 $V$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\alpha$ と $\beta$ を計算する。

$\alpha = \vec{p} \cdot \vec{a} = (1)(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(0) = \frac{1}{2} + \frac{3}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

$\beta = \vec{q} \cdot \vec{a} = (-1)(\frac{1}{2}) + (\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (2)(0) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$

$\vec{b}$ を計算する。

$\vec{b} = \vec{p} - \alpha \vec{a} = (1, \frac{\sqrt{3}}{3}, 1) - 1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (1 - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{2\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{6}, 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, 1)$

$\vec{q} \cdot \vec{b}$ を計算する。

$\vec{q} \cdot \vec{b} = (-1)(\frac{1}{2}) + (\sqrt{3})(-\frac{\sqrt{3}}{6}) + (2)(1) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{6} + 2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 = -1 + 2 = 1$

$|\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{b}|^2 = (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{6})^2 + (1)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{36} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{1}{12} + 1 = \frac{3 + 1 + 12}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

$\frac{\vec{q} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}$ を計算する。

$\frac{\vec{q} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{1}{\frac{4}{3}} (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, 1) = \frac{3}{4} (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, 1) = (\frac{3}{8}, -\frac{3\sqrt{3}}{24}, \frac{3}{4}) = (\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{4})$

$\vec{c}$ を計算する。

$\vec{c} = \vec{q} - \beta \vec{a} - \frac{\vec{q} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = (-1, \sqrt{3}, 2) - 1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) - (\frac{3}{8}, -\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{3}{4}) = (-1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{8}, \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8}, 2 - 0 - \frac{3}{4}) = (\frac{-8 - 4 - 3}{8}, \frac{8\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + \sqrt{3}}{8}, \frac{8 - 3}{4}) = (-\frac{15}{8}, \frac{5\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4})$

(2) 四面体 OABC の体積 $V$ は、

$V = \frac{1}{6} |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$

$\vec{a} \times \vec{b} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \times (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, 1) = (\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{- \sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{12}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{4\sqrt{3}}{12}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$

$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{3}) \cdot (-\frac{15}{8}, \frac{5\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4}) = -\frac{15\sqrt{3}}{16} - \frac{5\sqrt{3}}{16} - \frac{5\sqrt{3}}{12} = -\frac{20\sqrt{3}}{16} - \frac{5\sqrt{3}}{12} = -\frac{5\sqrt{3}}{4} - \frac{5\sqrt{3}}{12} = \frac{-15\sqrt{3} - 5\sqrt{3}}{12} = \frac{-20\sqrt{3}}{12} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$

$V = \frac{1}{6} |-\frac{5\sqrt{3}}{3}| = \frac{1}{6} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{b} = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{6}, 1)$, $\vec{c} = (-\frac{15}{8}, \frac{5\sqrt{3}}{8}, \frac{5}{4})$

(2) $V = \frac{5\sqrt{3}}{18}$