座標平面上に平行四辺形OABCと正方形ODEFがある。点Aの座標は(6, 0)、点Cの座標は(3, 6)、点Eの座標は(-4, 4)である。正方形ODEFがx軸の正方向に秒速1で移動するとき、t秒後に2つの図形が重なった部分の面積をSとする。以下の問いに答えよ。 (1) t=3のとき、Sの値を求めよ。 (2) t=5のとき、Sの値を求めよ。 (3) $6 \le t \le 8$のとき、Sをtを用いて表せ。 (4) $t \ge 0$について、必要に応じて場合分けを行い、Sをtを用いて表せ。

1. 問題の内容

座標平面上に平行四辺形OABCと正方形ODEFがある。点Aの座標は(6, 0)、点Cの座標は(3, 6)、点Eの座標は(-4, 4)である。正方形ODEFがx軸の正方向に秒速1で移動するとき、t秒後に2つの図形が重なった部分の面積をSとする。以下の問いに答えよ。

(1) t=3のとき、Sの値を求めよ。

(2) t=5のとき、Sの値を求めよ。

(3) $6 \le t \le 8$のとき、Sをtを用いて表せ。

(4) $t \ge 0$について、必要に応じて場合分けを行い、Sをtを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) t=3のとき、正方形ODEFはx軸方向に3だけ移動する。このとき、正方形の頂点の座標はそれぞれF(-1, -4), O(-1, 0), D(-1, 4), E(-1, 4+4)となる。重なる部分は、x座標が-1から0までの範囲であり、y座標は0から4までの範囲の正方形である。しかし、これは点Aより左にあるので、x座標が0から-1+6=5の範囲で平行四辺形OABCと正方形が重なる。ここで、点Aのx座標は6なので、x座標が0から5の範囲で考える。O(0, 0), A(6, 0), C(3, 6)より、直線OCの方程式は$y = 2x$である。したがって、重なる部分の面積は、積分

$\int_0^5 2x dx = [x^2]_0^5 = 25$

ではない。

正方形のx座標は、$x = -4+t$ から $x=-4+t+4 = t$まで変化する。

t=3の時、$x = -1$から$x=3$まで変化する。平行四辺形と重なる範囲は、$0 \le x \le 3$。y=2xより、重なる部分の面積は、

$\int_0^3 2x dx = [x^2]_0^3 = 9$

(2) t=5のとき、正方形のx座標は、$x=1$から$x=5$まで変化する。平行四辺形と重なる範囲は、$0 \le x \le 5$。y=2xより、重なる部分の面積は、

$\int_1^3 4 dx + \int_3^5 2x dx = 4*(3-1) + [x^2]_3^5 = 8 + (25-9) = 8 + 16 = 24$

(3) $6 \le t \le 8$のとき、正方形のx座標は、$t-4$から$t$まで変化する。平行四辺形と重なる範囲は、$0 \le x \le 6$。

$t-4 > 2$なので、正方形は完全に平行四辺形を通過している。

正方形のx座標がt-4からtの範囲で、平行四辺形と重なる。

重なる部分は、$t-4 \le x \le 6$となる。また、y=0からy=4の範囲である。

$t-4 < 6$, $t < 10$

このとき、重なる部分のy座標は、y=2xとy=4の間である。

よって、重なる部分の面積は、

$\int_{t-4}^t 4 dx = 4(t-(t-4)) = 16$

(4) $t \ge 0$について場合分けを行う。

i) $0 \le t \le 4$のとき、正方形は原点に重なる。重なる部分は、正方形のx座標は、$t-4$から$t$まで変化する。

重なる部分は、$\int_0^t 2x dx = [x^2]_0^t = t^2$.

ii) $4 < t \le 6$のとき、$\int_{t-4}^6 4 dx$.

$t-4 < x \le 6$の間はy=4で抑えられる。一方、重なる部分は、$\int_{t-4}^6 4 dx$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 24

(3) 16

(4)

$S = t^2$ ($0 \le t \le 3$)

$S = 16 - (6-t)^2$ ($3 < t \le 6$)

$S = 16$ ($6 < t \le 8$)

$S = 16$ ($t > 8$)