空間座標における3点A(4,0,2), B(0,3,5), C(5,9,0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとし、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。 (1) $\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。 (2) $\overrightarrow{CH'}$を$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$で表す。 (3) 点Pを$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるように線分OC上にとる。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、$PQ$を求める。

1. 問題の内容

空間座標における3点A(4,0,2), B(0,3,5), C(5,9,0)が与えられている。原点Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとし、点Cから直線ABに下ろした垂線の足をH'とする。

(1) $\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OA}$と$\overrightarrow{OB}$で表す。

(2) $\overrightarrow{CH'}$を$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$で表す。

(3) 点Pを$\triangle PHH'$の面積が$\frac{\sqrt{34}}{4}$となるように線分OC上にとる。点Pから直線ABに下ろした垂線の足をQとするとき、$PQ$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-4, 3, 3)$

$\overrightarrow{OH} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$とおくと、$\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OA} = t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = t\overrightarrow{AB}$。

$\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$より、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$。

$\overrightarrow{OA} = (4,0,2)$, $\overrightarrow{OB} = (0,3,5)$なので、$\overrightarrow{OH} = (4-4t, 3t, 2+3t)$。

$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = (4-4t)(-4) + (3t)(3) + (2+3t)(3) = -16 + 16t + 9t + 6 + 9t = 34t - 10 = 0$

$t = \frac{10}{34} = \frac{5}{17}$

$\overrightarrow{OH} = (1-\frac{5}{17})\overrightarrow{OA} + \frac{5}{17}\overrightarrow{OB} = \frac{12}{17}\overrightarrow{OA} + \frac{5}{17}\overrightarrow{OB}$

(2) $\overrightarrow{AH'} = t\overrightarrow{AB}$とおくと、$\overrightarrow{CH'} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{CA} + t\overrightarrow{AB}$。

$\overrightarrow{CH'} \perp \overrightarrow{AB}$より、$\overrightarrow{CH'} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$。

$\overrightarrow{CA} = (4-5, 0-9, 2-0) = (-1, -9, 2)$

$\overrightarrow{CH'} = (-1-4t, -9+3t, 2+3t)$

$\overrightarrow{CH'} \cdot \overrightarrow{AB} = (-1-4t)(-4) + (-9+3t)(3) + (2+3t)(3) = 4+16t - 27+9t + 6+9t = 34t - 17 = 0$

$t = \frac{17}{34} = \frac{1}{2}$

$\overrightarrow{AH'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$なので、H'は線分ABの中点である。

$\overrightarrow{CH'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

(3) $\overrightarrow{OC} = (5,9,0)$

点Pは線分OC上にあるので、$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OC} = (5k, 9k, 0)$。

また点Qは線分AB上にあるので、$\overrightarrow{OQ} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} = (4-4s, 3s, 2+3s)$。

$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (4-4s-5k, 3s-9k, 2+3s)$

$\overrightarrow{PQ} \perp \overrightarrow{AB}$より、$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$。

$(4-4s-5k)(-4) + (3s-9k)(3) + (2+3s)(3) = -16+16s+20k + 9s-27k + 6+9s = 34s - 7k - 10 = 0$

$34s = 7k + 10 \rightarrow s = \frac{7k+10}{34}$

$PH = |\overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP}| = |(\frac{12}{17}\overrightarrow{OA} + \frac{5}{17}\overrightarrow{OB}) - k\overrightarrow{OC}| = |(\frac{48}{17}, \frac{15}{17}, \frac{24}{17}) - (5k, 9k, 0)| = |(\frac{48}{17}-5k, \frac{15}{17}-9k, \frac{24}{17})|$

$HH' = |t-s||\overrightarrow{AB}| = |\frac{1}{2} - \frac{5}{17}| \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + 3^2} = |\frac{17-10}{34}|\sqrt{16+9+9} = \frac{7}{34}\sqrt{34} = \frac{7\sqrt{34}}{34}$

$\triangle PHH' = \frac{1}{2}PH \cdot HH' = \frac{\sqrt{34}}{4}$

$\frac{1}{2} PH \cdot \frac{7\sqrt{34}}{34} = \frac{\sqrt{34}}{4}$

$PH = \frac{2 \cdot 34}{4 \cdot 7} = \frac{17}{7}$

$\overrightarrow{OP} = k\overrightarrow{OC}$なので、$\overrightarrow{OC} = (5, 9, 0)$, $|\overrightarrow{OC}| = \sqrt{25+81} = \sqrt{106}$

$|OC| = \sqrt{5^2+9^2+0^2} = \sqrt{25+81} = \sqrt{106}$

$\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{OC} = (4-4s-5k)(5) + (3s-9k)(9) + (2+3s)(0) = 20 - 20s - 25k + 27s - 81k = 20 + 7s - 106k = 0$

$20 + 7(\frac{7k+10}{34}) - 106k = 0$

$680 + 49k + 70 - 3604k = 0$

$750 = 3555k$

$k = \frac{750}{3555} = \frac{50}{237} = \frac{50}{237}$

$PQ = \frac{24\sqrt{34}}{17}$

$PQ=\frac{2 \sqrt{34}}{7}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OH} = \frac{12}{17}\overrightarrow{OA} + \frac{5}{17}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{CH'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$

$PQ = \frac{2}{7}\sqrt{34}$

シスセ = 2/7