二つの円 $x^2 + y^2 - x + y - 2 = 0$ (①) と $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$ (②) が2点で交わっています。 (1) 二つの円の二つの共有点と点 (1, 0) を通る円の方程式を求めます。 (2) 二つの円の二つの共有点を通る直線の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

二つの円 $x^2 + y^2 - x + y - 2 = 0$ (①) と $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 = 0$ (②) が2点で交わっています。

(1) 二つの円の二つの共有点と点 (1, 0) を通る円の方程式を求めます。

(2) 二つの円の二つの共有点を通る直線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

二つの円の交点を通る円の方程式は、$k$ を実数として次のように表せます。

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 + k(x^2 + y^2 - x + y - 2) = 0$

この円が点 (1, 0) を通るので、上記の式に $x = 1$, $y = 0$ を代入します。

$1^2 + 0^2 + 2(1) - 8(0) + 1 + k(1^2 + 0^2 - 1 + 0 - 2) = 0$

$1 + 2 + 1 + k(1 - 1 - 2) = 0$

$4 - 2k = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

$k = 2$ を代入して、求める円の方程式は

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 + 2(x^2 + y^2 - x + y - 2) = 0$

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 + 2x^2 + 2y^2 - 2x + 2y - 4 = 0$

$3x^2 + 3y^2 - 6y - 3 = 0$

$x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$

(2)

二つの円の交点を通る直線の方程式は、$k = -1$ のときです。

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 + k(x^2 + y^2 - x + y - 2) = 0$

に$k=-1$を代入します。

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 - (x^2 + y^2 - x + y - 2) = 0$

$x^2 + y^2 + 2x - 8y + 1 - x^2 - y^2 + x - y + 2 = 0$

$3x - 9y + 3 = 0$

$x - 3y + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 求める円の方程式は $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$

(2) 求める直線の方程式は $x - 3y + 1 = 0$