与えられた複数の点について、線分の内分点、外分点、および三角形の重心の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた複数の点について、線分の内分点、外分点、および三角形の重心の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

(1) 2点 A(-1, 6), B(3, 2) を 3:1 に内分する点

内分点の公式: $(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n})$

$x = \frac{3(3) + 1(-1)}{3+1} = \frac{9-1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$y = \frac{3(2) + 1(6)}{3+1} = \frac{6+6}{4} = \frac{12}{4} = 3$

(2) 2点 A(-1, 6), B(3, 2) の中点

中点の公式: $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$

$x = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y = \frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

(3) 2点 A(-1, 6), B(3, 2) を 2:3 に外分する点

外分点の公式: $(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n})$

$x = \frac{2(3) - 3(-1)}{2-3} = \frac{6+3}{-1} = \frac{9}{-1} = -9$

$y = \frac{2(2) - 3(6)}{2-3} = \frac{4-18}{-1} = \frac{-14}{-1} = 14$

(4) 2点 A(5, -2), B(-3, 2) を 1:3 に内分する点

$x = \frac{1(-3) + 3(5)}{1+3} = \frac{-3+15}{4} = \frac{12}{4} = 3$

$y = \frac{1(2) + 3(-2)}{1+3} = \frac{2-6}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

(5) 2点 A(-4, -2), B(1, 8) を 3:5 に内分する点

$x = \frac{3(1) + 5(-4)}{3+5} = \frac{3-20}{8} = \frac{-17}{8}$

$y = \frac{3(8) + 5(-2)}{3+5} = \frac{24-10}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$

(6) 3点 A(-4, -1), B(-3, 6), C(5, -4) の重心

重心の公式: $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3})$

$x = \frac{-4-3+5}{3} = \frac{-2}{3}$

$y = \frac{-1+6-4}{3} = \frac{1}{3}$

(7) 3点 A(1, 1), B(-2, 3), C(4, 2) の重心

$x = \frac{1-2+4}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1+3+2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) (2, 3)

(2) (1, 4)

(3) (-9, 14)

(4) (3, -1)

(5) (-17/8, 7/4)

(6) (-2/3, 1/3)

(7) (1, 2)