平面上に3点O, A, Bがあり、$ \vec{OA} = \vec{a} $, $ \vec{OB} = \vec{b} $, $ |\vec{a}| = 3 $, $ |\vec{b}| = 2 $, $ \angle AOB = \frac{\pi}{3} $ とする。Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対して、三角形PABの面積Sが最大となるときの$ \vec{OP} $を$ \vec{a} $と$ \vec{b} $を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上に3点O, A, Bがあり、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ とする。Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対して、三角形PABの面積Sが最大となるときの$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

三角形PABの面積Sは、三角形OABの面積に、点Pから直線ABまでの距離を足したもので決まる。三角形OABは固定なので、点Pから直線ABまでの距離が最大になるように点Pを取れば、三角形PABの面積Sが最大となる。

直線ABと平行で、Oを中心とする半径1の円に接する直線を考える。その接点が点Pの位置となる。

まず、$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$である。

直線ABの方向ベクトルは$\vec{b} - \vec{a}$であるから、これと垂直なベクトルを$\vec{n}$とすると、$\vec{n} \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$となる。

$\vec{n}$は直線ABに垂直なベクトルであり、このベクトルがOから直線ABまでの距離に最も近づく時、点Pとなる。つまり、点Pは、$\vec{OP} = k\vec{n}$ (kは実数) の形であり、かつ$|\vec{OP}| = 1$を満たす。

$\vec{n}$を求めるために、$\vec{n} = x\vec{a} + y\vec{b}$とおくと、$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0$

$x(\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2) + y(|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\frac{\pi}{3}} = 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$x(3 - 9) + y(4 - 3) = 0$

$-6x + y = 0$

$y = 6x$

$\vec{n} = x\vec{a} + 6x\vec{b} = x(\vec{a} + 6\vec{b})$

$\vec{OP}$は$\vec{n}$と同じ方向の単位ベクトルであるから、

$\vec{OP} = \frac{\vec{a} + 6\vec{b}}{|\vec{a} + 6\vec{b}|}$

$|\vec{a} + 6\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 36|\vec{b}|^2 = 9 + 12(3) + 36(4) = 9 + 36 + 144 = 189$

$|\vec{a} + 6\vec{b}| = \sqrt{189} = 3\sqrt{21}$

$\vec{OP} = \frac{\vec{a} + 6\vec{b}}{3\sqrt{21}}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{3\sqrt{21}}\vec{a} + \frac{2}{\sqrt{21}}\vec{b}$