平面上の3点O, A, Bがある。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$である。Oを中心とする半径1の円周上の点Pについて、$\triangle PAB$の面積Sが最大となるときの$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

1. 問題の内容

平面上の3点O, A, Bがある。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$である。Oを中心とする半径1の円周上の点Pについて、$\triangle PAB$の面積Sが最大となるときの$\overrightarrow{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

$\triangle PAB$の面積Sは、

$S = \frac{1}{2} | \overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{PB} |$

$= \frac{1}{2} | (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) \times (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}) |$

$= \frac{1}{2} | \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OP} |$

$= \frac{1}{2} | \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OP} |$

$= \frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \overrightarrow{OP} + \vec{b} \times \overrightarrow{OP} |$

$= \frac{1}{2} | \vec{a} \times \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP} |$

$\vec{a} \times \vec{b}$は定ベクトルなので、$|(\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP}|$が最大となる時、Sが最大となる。

$\overrightarrow{OP}$は半径1の円周上の点なので、$|(\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP}|$が最大となるのは、$\overrightarrow{OP}$が$\vec{b} - \vec{a}$に垂直な方向を向いている時である。

つまり、$\overrightarrow{OP} \parallel \vec{b} - \vec{a}$ の時、$|(\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP}| = 0$となり、$|(\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP}|$は最小となる。

$\overrightarrow{OP}$の方向は$\vec{b} - \vec{a}$に垂直である必要がある。

$\vec{b} - \vec{a}$の方向ベクトルを$\vec{v}$とすると、$\vec{v} = \vec{b} - \vec{a}$である。

求める$\overrightarrow{OP}$は、$\vec{b} - \vec{a}$と直交し、長さが1のベクトルである。

$\vec{u} = \vec{b} - \vec{a}$ とする。$|\vec{u}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2 |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \frac{\pi}{3}} = \sqrt{9 + 4 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{7}$

$\vec{u}$と垂直なベクトルを$\vec{w}$とする。$\vec{w}$の方向は$\vec{u}$を$\frac{\pi}{2}$回転させたものである。

$\vec{a}$と$\vec{b}$が張る平面で、$\vec{u}$を$\frac{\pi}{2}$回転させることは難しい。

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$とすると、$\vec{n}$は平面に垂直なベクトルである。

$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} = (3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}) \vec{a} - 9 \vec{b} = 3 \vec{a} - 9 \vec{b}$

$(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a}) \vec{b} - ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b}) = 4 \vec{a} - 3 \vec{b} - (3 \vec{a} - 9 \vec{b}) = \vec{a} + 6 \vec{b}$

$\overrightarrow{OP} = k (\vec{a} + 6 \vec{b})$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = 1$

$k^2 (|\vec{a}|^2 + 36 |\vec{b}|^2 + 12 \vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$

$k^2 (9 + 36 \cdot 4 + 12 \cdot 3) = 1$

$k^2 (9 + 144 + 36) = 1$

$k^2 (189) = 1$

$k = \pm \frac{1}{\sqrt{189}} = \pm \frac{1}{3 \sqrt{21}}$

$\overrightarrow{OP} = \pm \frac{1}{3 \sqrt{21}} (\vec{a} + 6 \vec{b})$

$\vec{b} - \vec{a}$方向への単位ベクトルを$\vec{e_1}$、$\vec{e_1}$に垂直な単位ベクトルを$\vec{e_2}$とする。

このとき、$\overrightarrow{OP} = \cos \theta \vec{e_1} + \sin \theta \vec{e_2}$となる。

$S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) \times \overrightarrow{OP}|$

$=\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + (\vec{b} - \vec{a}) \times (\cos \theta \vec{e_1} + \sin \theta \vec{e_2})|$

$=\frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \sin \theta (\vec{b} - \vec{a}) \times \vec{e_2}|$

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、Sが最大になる。

よって、$\overrightarrow{OP} = \pm \frac{\vec{a}+6\vec{b}}{3\sqrt{21}}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \pm \frac{\vec{a}+6\vec{b}}{3\sqrt{21}}$