Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対し、三角形PABの面積Sが最大となるときの$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す問題です。ただし、$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ です。

1. 問題の内容

Oを中心とする半径1の円周上の点Pに対し、三角形PABの面積Sが最大となるときの$\vec{OP}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表す問題です。ただし、$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=2$, $\angle AOB = \frac{\pi}{3}$ です。

2. 解き方の手順

三角形PABの面積は、三角形OABの面積と三角形OAPの面積と三角形OBPの面積を用いて表すことができます。三角形OABの面積は固定なので、三角形OAPの面積と三角形OBPの面積の和を最大化することを考えます。

まず、三角形OABの面積S(OAB)は

$S(OAB) = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

次に、三角形OAPの面積S(OAP)は

$S(OAP) = \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{OP}|\sin{\angle AOP} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \cdot \sin{\angle AOP} = \frac{3}{2} \sin{\angle AOP}$

そして、三角形OBPの面積S(OBP)は

$S(OBP) = \frac{1}{2}|\vec{b}||\vec{OP}|\sin{\angle BOP} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin{\angle BOP} = \sin{\angle BOP}$

三角形PABの面積S(PAB)は

$S(PAB) = S(OAP) + S(OBP) - S(OAB)$

$= \frac{3}{2} \sin{\angle AOP} + \sin{\angle BOP} - \frac{3\sqrt{3}}{2}$

面積S(PAB)を最大にするには、$\frac{3}{2} \sin{\angle AOP} + \sin{\angle BOP}$を最大にすればよいです。ここで、$\vec{OP} = s\vec{a} + t\vec{b}$ ($s,t$は実数)と表せると仮定します。ただし、$|\vec{OP}|=1$です。

点Pが線分ABから最も遠い位置にあるとき、三角形PABの面積が最大になることを利用します。

$\vec{OP}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が張る平面上にある単位ベクトルなので、$\vec{OP}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ がなす角の二等分線方向に伸びていると考えられます。$\vec{a}/|\vec{a}| + \vec{b}/|\vec{b}|$ の方向に $\vec{OP}$ が伸びるときに面積が最大になります。

$\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} + \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{2}$とおくと、

$|\vec{e}|^2 = (\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{2})^2 = \frac{|\vec{a}|^2}{9} + \frac{|\vec{b}|^2}{4} + \frac{2}{6} \vec{a} \cdot \vec{b}$

$= \frac{9}{9} + \frac{4}{4} + \frac{1}{3} |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 1 + 1 + \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 + 1 = 3$

$|\vec{e}| = \sqrt{3}$

$\vec{OP} = \frac{\vec{e}}{|\vec{e}|} = \frac{1}{\sqrt{3}} (\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{3} (\frac{\vec{a}}{3} + \frac{\vec{b}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{9} \vec{a} + \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{\sqrt{3}}{9} \vec{a} + \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{b}$