円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と直線 $y = kx + 2$ がある。定数 $k$ の値によって、円と直線の位置関係がどのように変わるかを調べる問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と直線 $y = kx + 2$ がある。定数 $k$ の値によって、円と直線の位置関係がどのように変わるかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

円の方程式を平方完成します。

$x^2 + y^2 + 4y = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y + 2)^2 = 2^2$

これは、中心 $(0, -2)$、半径 $2$ の円を表します。

直線 $y = kx + 2$ を円の方程式に代入し、$x$ の2次方程式を求めます。

$x^2 + (kx + 2 + 2)^2 = 4$

$x^2 + (kx + 4)^2 = 4$

$x^2 + k^2x^2 + 8kx + 16 = 4$

$(1 + k^2)x^2 + 8kx + 12 = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ を計算します。

$D = (8k)^2 - 4(1 + k^2)(12) = 64k^2 - 48 - 48k^2 = 16k^2 - 48$

$D = 16(k^2 - 3)$

円と直線が異なる2点で交わる場合、$D > 0$ となります。

$16(k^2 - 3) > 0$

$k^2 - 3 > 0$

$k^2 > 3$

$k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$

円と直線が接する場合、$D = 0$ となります。

$16(k^2 - 3) = 0$

$k^2 - 3 = 0$

$k = \pm\sqrt{3}$

円と直線が交わらない場合、$D < 0$ となります。

$16(k^2 - 3) < 0$

$k^2 - 3 < 0$

$k^2 < 3$

$-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

- $k < -\sqrt{3}$ または $k > \sqrt{3}$ のとき、円と直線は異なる2点で交わる。

- $k = \pm\sqrt{3}$ のとき、円と直線は接する。

- $-\sqrt{3} < k < \sqrt{3}$ のとき、円と直線は交わらない。