半径 $r$、中心角90°のおうぎ形の花壇に沿って、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通るおうぎ形の弧の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。

1. 問題の内容

半径 $r$、中心角90°のおうぎ形の花壇に沿って、幅 $a$ の道がついている。道の面積を $S$、道の真ん中を通るおうぎ形の弧の長さを $l$ とするとき、$S=al$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。道の面積は、大きい扇形から小さい扇形を引いたものなので、

$S = \frac{1}{4} \pi (r+a)^2 - \frac{1}{4} \pi r^2$

これを展開して整理する。

$S = \frac{1}{4} \pi (r^2 + 2ra + a^2) - \frac{1}{4} \pi r^2$

$S = \frac{1}{4} \pi r^2 + \frac{1}{2} \pi ra + \frac{1}{4} \pi a^2 - \frac{1}{4} \pi r^2$

$S = \frac{1}{2} \pi ra + \frac{1}{4} \pi a^2$

次に、道の真ん中を通るおうぎ形の弧の長さ $l$ を求める。

$l$ は半径 $r + \frac{a}{2}$、中心角90°の扇形の弧の長さなので、

$l = \frac{90}{360} \times 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = \frac{1}{4} \times 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = \frac{1}{2} \pi (r + \frac{a}{2})$

$l = \frac{1}{2} \pi r + \frac{1}{4} \pi a$

したがって、

$al = a (\frac{1}{2} \pi r + \frac{1}{4} \pi a)$

$al = \frac{1}{2} \pi ra + \frac{1}{4} \pi a^2$

これは $S$ と等しい。

$S = \frac{1}{2} \pi ra + \frac{1}{4} \pi a^2 = al$

よって、$S = al$ が証明された。

3. 最終的な答え

$S = al$