$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の相互関係である $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

まず、$\cos \theta = \frac{1}{4}$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入します。

$\sin^2 \theta + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1$

$\sin^2 \theta + \frac{1}{16} = 1$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2 \theta = \frac{16}{16} - \frac{1}{16}$

$\sin^2 \theta = \frac{15}{16}$

ここで、$\sin \theta$ を求めます。

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

問題文より、$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ であるため、$\sin \theta \ge 0$ となります。したがって、$\sin \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15}}{4}$