四面体OABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、線分CDを3:5に内分する点をE、線分OEを1:3に内分する点をFとする。直線AFが平面OBCと交わる点をGとするとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\vec{OE}, \vec{OF}$を$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$で表せ。 (2) AG:FGを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をD、線分CDを3:5に内分する点をE、線分OEを1:3に内分する点をFとする。直線AFが平面OBCと交わる点をGとするとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\vec{OE}, \vec{OF}$を$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$で表せ。

(2) AG:FGを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OD}$ は、AとBを1:2に内分する点なので、

$\vec{OD} = \frac{2\vec{OA} + 1\vec{OB}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}$

$\vec{OE}$ は、CとDを3:5に内分する点なので、

$\vec{OE} = \frac{5\vec{OD} + 3\vec{OC}}{3+5} = \frac{5}{8}\vec{OD} + \frac{3}{8}\vec{OC}$

$\vec{OD}$を代入すると、

$\vec{OE} = \frac{5}{8}(\frac{2}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}) + \frac{3}{8}\vec{OC} = \frac{5}{12}\vec{OA} + \frac{5}{24}\vec{OB} + \frac{3}{8}\vec{OC}$

$\vec{OF}$ は、OとEを1:3に内分する点なので、

$\vec{OF} = \frac{3\vec{OE} + 1\vec{0}}{1+3} = \frac{3}{4}\vec{OE}$

$\vec{OE}$を代入すると、

$\vec{OF} = \frac{3}{4}(\frac{5}{12}\vec{OA} + \frac{5}{24}\vec{OB} + \frac{3}{8}\vec{OC}) = \frac{5}{16}\vec{OA} + \frac{5}{32}\vec{OB} + \frac{9}{32}\vec{OC}$

(2) 点Gは直線AF上にあるので、実数kを用いて

$\vec{OG} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OF}$

と表せる。$\vec{OF}$を代入すると、

$\vec{OG} = (1-k)\vec{OA} + k(\frac{5}{16}\vec{OA} + \frac{5}{32}\vec{OB} + \frac{9}{32}\vec{OC})$

$\vec{OG} = (1-k+\frac{5}{16}k)\vec{OA} + \frac{5}{32}k\vec{OB} + \frac{9}{32}k\vec{OC}$

$\vec{OG} = (1-\frac{11}{16}k)\vec{OA} + \frac{5}{32}k\vec{OB} + \frac{9}{32}k\vec{OC}$

点Gは平面OBC上にあるので、$\vec{OA}$の係数は0になる。

$1-\frac{11}{16}k = 0$

$\frac{11}{16}k = 1$

$k = \frac{16}{11}$

$\vec{OG} = (1-\frac{11}{16} \cdot \frac{16}{11})\vec{OA} + \frac{5}{32} \cdot \frac{16}{11}\vec{OB} + \frac{9}{32} \cdot \frac{16}{11}\vec{OC}$

$\vec{OG} = 0\vec{OA} + \frac{5}{22}\vec{OB} + \frac{9}{22}\vec{OC}$

$\vec{OG} = (1-k)\vec{OA} + k\vec{OF}$ より、

$\vec{OG} = (1-\frac{16}{11})\vec{OA} + \frac{16}{11}\vec{OF}$

$\vec{OG} = -\frac{5}{11}\vec{OA} + \frac{16}{11}\vec{OF}$

$11\vec{OG} = -5\vec{OA} + 16\vec{OF}$

$5\vec{OA} + 11\vec{OG} = 16\vec{OF}$

$5\vec{OA} - 5\vec{OF} + 11\vec{OG} - 11\vec{OF} = 0$

$5(\vec{OA}-\vec{OF}) + 11(\vec{OG}-\vec{OF}) = 0$

$-5\vec{FO} - 11\vec{FO} + 11\vec{OG} = 0$

$5\vec{AF} = 11\vec{FG}$

$AG:FG = 11:5$

3. 最終的な答え

(1)

$\vec{OE} = \frac{5}{12}\vec{OA} + \frac{5}{24}\vec{OB} + \frac{3}{8}\vec{OC}$

$\vec{OF} = \frac{5}{16}\vec{OA} + \frac{5}{32}\vec{OB} + \frac{9}{32}\vec{OC}$

(2)

AG:FG = 11:5