底面の半径が $2$ cm、母線の長さが $6$ cmの円錐がある。底面の円周上の1点から、円錐の側面を1周して同じ点に戻るように糸をかける。この糸が最も短くなるときの長さを求める。

1. 問題の内容

底面の半径が $2$ cm、母線の長さが $6$ cmの円錐がある。底面の円周上の1点から、円錐の側面を1周して同じ点に戻るように糸をかける。この糸が最も短くなるときの長さを求める。

2. 解き方の手順

円錐の側面を展開図で考える。展開図は扇形になる。

扇形の半径は母線の長さに等しいので、$6$ cmである。

扇形の弧の長さは底面の円周に等しいので、$2 \pi \times 2 = 4 \pi$ cmである。

扇形の中心角を $\theta$ （ラジアン）とすると、

$6 \theta = 4 \pi$

$\theta = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3}$

糸が最も短くなるのは、展開図上で2点を結ぶ直線になるときである。

扇形の中心から円周上の出発点までの距離、および円周上の終点までの距離は共に$6$cmであり、中心角は$\frac{2\pi}{3}$である。

余弦定理を用いて糸の長さを計算する。

糸の長さを $x$ とすると、

$x^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \cos{\frac{2 \pi}{3}}$

$x^2 = 36 + 36 - 72 \times (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 72 + 36 = 108$

$x = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{3}$ cm