三角形ABCの頂点A(3,4), B(0,0), C(5,0)が与えられています。 (1) 各頂点から対辺に下ろした垂線が1点で交わることを示しなさい。 (2) 各辺の垂直二等分線が1点で交わることを示しなさい。

1. 問題の内容

三角形ABCの頂点A(3,4), B(0,0), C(5,0)が与えられています。

(1) 各頂点から対辺に下ろした垂線が1点で交わることを示しなさい。

(2) 各辺の垂直二等分線が1点で交わることを示しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 各頂点から対辺に下ろした垂線（垂心）

まず、各辺の傾きを求めます。

辺BCの傾きは $\frac{0-0}{5-0} = 0$。したがって、AからBCに下ろした垂線は $x=3$。

辺ACの傾きは $\frac{4-0}{3-5} = \frac{4}{-2} = -2$。したがって、BからACに下ろした垂線の傾きは $\frac{1}{2}$。

B(0,0)を通る垂線の方程式は $y = \frac{1}{2}x$。

辺ABの傾きは $\frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$。したがって、CからABに下ろした垂線の傾きは $-\frac{3}{4}$。

C(5,0)を通る垂線の方程式は $y = -\frac{3}{4}(x-5)$。

次に、これらの垂線が1点で交わることを示します。

$x=3$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点を求めます。$y = \frac{1}{2}(3) = \frac{3}{2}$。交点は$(3, \frac{3}{2})$。

$y = -\frac{3}{4}(x-5)$ に $(3, \frac{3}{2})$ を代入すると、

$\frac{3}{2} = -\frac{3}{4}(3-5) = -\frac{3}{4}(-2) = \frac{3}{2}$。

したがって、3本の垂線は1点 $(3, \frac{3}{2})$ で交わります。

(2) 各辺の垂直二等分線（外心）

辺BCの中点は$(\frac{0+5}{2}, \frac{0+0}{2}) = (\frac{5}{2}, 0)$。BCの傾きは0なので、BCの垂直二等分線は$x=\frac{5}{2}$。

辺ACの中点は$(\frac{3+5}{2}, \frac{4+0}{2}) = (4, 2)$。ACの傾きは-2なので、ACの垂直二等分線の傾きは$\frac{1}{2}$。

ACの垂直二等分線の方程式は $y-2 = \frac{1}{2}(x-4)$、つまり $y = \frac{1}{2}x$。

辺ABの中点は$(\frac{3+0}{2}, \frac{4+0}{2}) = (\frac{3}{2}, 2)$。ABの傾きは$\frac{4}{3}$なので、ABの垂直二等分線の傾きは$-\frac{3}{4}$。

ABの垂直二等分線の方程式は $y-2 = -\frac{3}{4}(x-\frac{3}{2})$。

次に、これらの垂直二等分線が1点で交わることを示します。

$x=\frac{5}{2}$ と $y = \frac{1}{2}x$ の交点を求めます。$y = \frac{1}{2}(\frac{5}{2}) = \frac{5}{4}$。交点は $(\frac{5}{2}, \frac{5}{4})$。

$y-2 = -\frac{3}{4}(x-\frac{3}{2})$ に $(\frac{5}{2}, \frac{5}{4})$ を代入すると、

$\frac{5}{4} - 2 = -\frac{3}{4}(\frac{5}{2} - \frac{3}{2})$

$-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}(\frac{2}{2})$

$-\frac{3}{4} = -\frac{3}{4}$。

したがって、3本の垂直二等分線は1点 $(\frac{5}{2}, \frac{5}{4})$ で交わります。

3. 最終的な答え

(1) 3本の垂線は1点 $(3, \frac{3}{2})$ で交わる。

(2) 3本の垂直二等分線は1点 $(\frac{5}{2}, \frac{5}{4})$ で交わる。