平行四辺形ABCDにおいて、角Bの二等分線がADと交わる点をF、角Cの二等分線がADと交わる点をEとする。このとき、角xの大きさと線分EFの長さyを求める。BC=12cm、CD=7cmとする。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、角Bの二等分線がADと交わる点をF、角Cの二等分線がADと交わる点をEとする。このとき、角xの大きさと線分EFの長さyを求める。BC=12cm、CD=7cmとする。

2. 解き方の手順

* 平行四辺形の性質より、AD=BC=12cm, AB=CD=7cm。また、AD//BCより、錯角は等しい。

* ∠CBF = ∠BFA （平行線の錯角）であり、BFは∠Bの二等分線なので、∠CBF = ∠ABF。したがって、∠ABF = ∠BFA となり、△ABFは二等辺三角形である。

よって、AF = AB = 7cm。

* 同様に、∠BCE = ∠DEC （平行線の錯角）であり、CEは∠Cの二等分線なので、∠BCE = ∠DCE。したがって、∠DCE = ∠DEC となり、△CDEは二等辺三角形である。

よって、DE = DC = 7cm。

* EF = AD - AF - DEより、

$EF = 12 - (AD-DE) = 12-7 = 5cm$

* したがって、y=5cm

* 次に角xを求める。平行四辺形の隣り合う角の和は180度なので、∠B + ∠C = 180°。BFとCEはそれぞれ∠Bと∠Cの二等分線なので、∠CBF + ∠BCE = (∠B + ∠C)/2 = 180°/2 = 90°。

△BCEにおいて、∠BEC + ∠CBF + ∠BCE = 180°より、

∠BEC = 180° - (∠CBF + ∠BCE) = 180° - 90° = 90°。

* ∠BEC = 90°。したがって、∠AEB=180-90=90度

* ∠xは△EBFの内角である。

$x = 180 - ∠EBF - ∠BEF$

∠EBF = ∠B/2

∠BEF = 180 - ∠AEB = 90

∠EBF = ∠B/2 = $(180 - ∠C)/2$

∠BCE = ∠C/2

したがって、$x= 180 - ∠EBF - ∠BEF$

* ∠xは△EBCの外角である。したがって、∠x = ∠EBC + ∠ECB。

∠EBC = ∠B/2, ∠ECB = ∠C/2。

∠x = ∠B/2 + ∠C/2 = (∠B + ∠C)/2 = 180°/2 = 90°。

3. 最終的な答え

x = 90°

y = 5 cm