連立不等式 $x^2 + y^2 \le 1$ $x + y \le 1$ $3x - y \le 3$ の表す領域を $D$ とし、原点を中心とする半径1の円を $C$ とする。点 $A(\frac{5}{3}, 0)$ を通り、傾きが $a$ の直線を $l$ とする。$l$ と $D$ が共有点をもつような $a$ の最大値と最小値を求める。 (1) $C$ と直線 $x + y = 1$ の共有点の座標、$C$ と直線 $3x - y = 3$ の共有点の座標を求める。 (2) $C$ と $l$ が接するときの $a$ の値を求め、接点の $x$ 座標を求める。 $l$ と $D$ が共有点をもつような $a$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

連立不等式

$x^2 + y^2 \le 1$

$x + y \le 1$

$3x - y \le 3$

の表す領域を $D$ とし、原点を中心とする半径1の円を $C$ とする。点 $A(\frac{5}{3}, 0)$ を通り、傾きが $a$ の直線を $l$ とする。$l$ と $D$ が共有点をもつような $a$ の最大値と最小値を求める。

(1) $C$ と直線 $x + y = 1$ の共有点の座標、$C$ と直線 $3x - y = 3$ の共有点の座標を求める。

(2) $C$ と $l$ が接するときの $a$ の値を求め、接点の $x$ 座標を求める。

$l$ と $D$ が共有点をもつような $a$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $C$ の方程式は $x^2 + y^2 = 1$ である。

直線 $x + y = 1$ より $y = 1 - x$ を円の方程式に代入すると、

$x^2 + (1 - x)^2 = 1$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x - 1) = 0$

$x = 0, 1$

$x = 0$ のとき $y = 1$

$x = 1$ のとき $y = 0$

よって、共有点の座標は $(0, 1)$ と $(1, 0)$ である。

直線 $3x - y = 3$ より $y = 3x - 3$ を円の方程式に代入すると、

$x^2 + (3x - 3)^2 = 1$

$x^2 + 9x^2 - 18x + 9 = 1$

$10x^2 - 18x + 8 = 0$

$5x^2 - 9x + 4 = 0$

$(5x - 4)(x - 1) = 0$

$x = 1, \frac{4}{5}$

$x = 1$ のとき $y = 0$

$x = \frac{4}{5}$ のとき $y = 3 \cdot \frac{4}{5} - 3 = \frac{12}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{3}{5}$

よって、共有点の座標は $(1, 0)$ と $(\frac{4}{5}, -\frac{3}{5})$ である。

(2)

直線 $l$ の方程式は $y = a(x - \frac{5}{3})$ である。

円 $C$ と直線 $l$ が接するとき、原点と直線 $l$ の距離が1に等しい。

$ax - y - \frac{5}{3}a = 0$

$\frac{|a \cdot 0 - 0 - \frac{5}{3}a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = 1$

$\frac{|\frac{5}{3}a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

$\frac{25}{9}a^2 = a^2 + 1$

$\frac{16}{9}a^2 = 1$

$a^2 = \frac{9}{16}$

$a = \pm \frac{3}{4}$

$a = \frac{3}{4}$ のとき、接点を求める。

$\frac{3}{4}x - y - \frac{5}{4} = 0$

$3x - 4y - 5 = 0$

円 $x^2 + y^2 = 1$ と $3x - 4y - 5 = 0$ の交点を求める。

$4y = 3x - 5$

$y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}$

$x^2 + (\frac{3}{4}x - \frac{5}{4})^2 = 1$

$x^2 + \frac{9}{16}x^2 - \frac{30}{16}x + \frac{25}{16} = 1$

$16x^2 + 9x^2 - 30x + 25 = 16$

$25x^2 - 30x + 9 = 0$

$(5x - 3)^2 = 0$

$x = \frac{3}{5}$

よって、$x = \frac{3}{5}$ である。

点 $A(\frac{5}{3}, 0)$ を通る直線の傾きを変化させた時、$x+y=1$ と $3x-y=3$ の交点 $x=1, y=0$ を通る時、傾きは、$a = \frac{0-0}{1-\frac{5}{3}} = 0$ となる。

傾きが正の場合は$C$と$l$が接する時が最大となるので、$a = \frac{3}{4}$

傾きが負の場合は$C$と$l$が接する時が最小となるので、$a = -\frac{3}{4}$

したがって、最大値は $\frac{3}{4}$、最小値は $0$ である。

ここで、$A(\frac{5}{3}, 0)$ を通る直線 $y = a(x - \frac{5}{3})$ が $x+y=1$ と交わる場合を考え、

$y=1-x$ を代入して、

$1-x = a(x - \frac{5}{3})$

$1-x = ax - \frac{5}{3}a$

$(a+1)x = 1+\frac{5}{3}a$

$x = \frac{3+5a}{3(a+1)}$

この時、$x^2 + y^2 \le 1$ で、$x+y \le 1$ を満たす必要があるので、$a = 0$ が最小。

最大値は $C$と$l$が接する時が最大となるので、$a = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 4

ウ: 5

エ: -3

オ: 5

カ: 5

キ: 3

ク: 4

ケ: 3

コ: 5

サ: 3

シ: 4

スセ: 0

ソ: 1