底面の半径が 2 cm、母線の長さが 6 cm の円錐がある。底面の円周上の 1 点から円錐の側面を 1 周して同じ点に戻るように糸をかける。この糸が最も短くなるときの長さを選択肢の中から選ぶ。

1. 問題の内容

底面の半径が 2 cm、母線の長さが 6 cm の円錐がある。底面の円周上の 1 点から円錐の側面を 1 周して同じ点に戻るように糸をかける。この糸が最も短くなるときの長さを選択肢の中から選ぶ。

2. 解き方の手順

円錐の側面を展開図で考える。

円錐の展開図は扇形になる。

扇形の半径は母線の長さに等しく、6 cm である。

扇形の弧の長さは底面の円周に等しい。

底面の円周は $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ cm である。

扇形の中心角を $\theta$ (ラジアン) とすると、扇形の弧の長さは $r \theta$ で表される。

したがって、$6 \theta = 4 \pi$ より、$\theta = \frac{4 \pi}{6} = \frac{2 \pi}{3}$ である。

糸が最も短くなるとき、それは展開図上で 2 点を結ぶ直線になる。

扇形の中心からこの直線までの距離は 6 cm である。

求める糸の長さを $x$ とすると、余弦定理より、

$x^2 = 6^2 + 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \cos{\frac{2 \pi}{3}}$

$x^2 = 36 + 36 - 72 \cos{120^\circ}$

$x^2 = 72 - 72 (-\frac{1}{2})$

$x^2 = 72 + 36 = 108$

$x = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$6\sqrt{3}$ cm

選択肢は④。