座標平面上に3点(2, 0), (2, 2), (6, 0)を通る円Cがある。 (1) 円Cの中心の座標と半径を求めよ。 (2) 点Pは、円Cの $y \geq 0$ の部分を動く。点A(0, -1)に対して、$AP = 3$ である点Pの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点(2, 0), (2, 2), (6, 0)を通る円Cがある。

(1) 円Cの中心の座標と半径を求めよ。

(2) 点Pは、円Cの $y \geq 0$ の部分を動く。点A(0, -1)に対して、$AP = 3$ である点Pの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 円の中心の座標を(a, b)、半径をrとする。円の方程式は$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$となる。

3点(2, 0), (2, 2), (6, 0)を通るので、それぞれ代入すると

$(2-a)^2 + (0-b)^2 = r^2$ (1)

$(2-a)^2 + (2-b)^2 = r^2$ (2)

$(6-a)^2 + (0-b)^2 = r^2$ (3)

(1)と(2)より、

$(2-a)^2 + b^2 = (2-a)^2 + (2-b)^2$

$b^2 = (2-b)^2 = 4 - 4b + b^2$

$4b = 4$

$b = 1$

(1)と(3)より、

$(2-a)^2 + b^2 = (6-a)^2 + b^2$

$(2-a)^2 = (6-a)^2$

$4 - 4a + a^2 = 36 - 12a + a^2$

$8a = 32$

$a = 4$

中心は(4, 1)。

これを(1)に代入して、

$(2-4)^2 + (0-1)^2 = r^2$

$4 + 1 = r^2$

$r^2 = 5$

$r = \sqrt{5}$

(2) 点Pの座標を(x, y)とする。点Pは円C上の点なので、$(x-4)^2 + (y-1)^2 = 5$を満たす。また、$y \geq 0$を満たす。

$AP = 3$なので、$\sqrt{(x-0)^2 + (y-(-1))^2} = 3$

$x^2 + (y+1)^2 = 9$

$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 9$

$x^2 + y^2 + 2y = 8$

$(x-4)^2 + (y-1)^2 = 5$より、

$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 2y + 1 = 5$

$x^2 + y^2 = 8x + 2y - 12$

これを$x^2 + y^2 + 2y = 8$に代入して、

$8x + 2y - 12 + 2y = 8$

$8x + 4y = 20$

$2x + y = 5$

$y = 5 - 2x$

これを$(x-4)^2 + (y-1)^2 = 5$に代入して、

$(x-4)^2 + (5-2x-1)^2 = 5$

$(x-4)^2 + (4-2x)^2 = 5$

$x^2 - 8x + 16 + 16 - 16x + 4x^2 = 5$

$5x^2 - 24x + 32 = 5$

$5x^2 - 24x + 27 = 0$

$(5x - 9)(x - 3) = 0$

$x = 3, \frac{9}{5}$

$x=3$のとき、$y = 5 - 2(3) = -1$

$x=\frac{9}{5}$のとき、$y = 5 - 2(\frac{9}{5}) = 5 - \frac{18}{5} = \frac{25 - 18}{5} = \frac{7}{5}$

$y \geq 0$より、($\frac{9}{5}$, $\frac{7}{5}$)

3. 最終的な答え

(1) 中心の座標: (4, 1), 半径: $\sqrt{5}$

(2) Pの座標: $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$