点A(2, 1) を通る直線が円 $x^2 + y^2 = 2$ と異なる2点P, Qで交わり、線分PQの長さが2であるとき、直線の方程式を求めよ。

## 問3の解答

1. 問題の内容

点A(2, 1) を通る直線が円 $x^2 + y^2 = 2$ と異なる2点P, Qで交わり、線分PQの長さが2であるとき、直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点A(2, 1) を通る直線の方程式を $y - 1 = m(x - 2)$ とおく。

これは、$y = mx - 2m + 1$ と書き換えられる。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 2$ と直線 $y = mx - 2m + 1$ の交点を求める。

$x^2 + (mx - 2m + 1)^2 = 2$

$x^2 + (m^2x^2 - 4m^2x + 4m^2 + 2mx - 4m + 1) = 2$

$(1 + m^2)x^2 + (2m - 4m^2)x + (4m^2 - 4m - 1) = 0$

(3) この2次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、$x_1, x_2$ は点P, Qのx座標である。線分PQの長さが2であることから、

$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = 2$

$y_1 = mx_1 - 2m + 1$

$y_2 = mx_2 - 2m + 1$

$y_1 - y_2 = m(x_1 - x_2)$

$\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + m^2(x_1 - x_2)^2} = 2$

$\sqrt{(1 + m^2)(x_1 - x_2)^2} = 2$

$(1 + m^2)(x_1 - x_2)^2 = 4$

$(x_1 - x_2)^2 = \frac{4}{1 + m^2}$

(4) 解と係数の関係より、

$x_1 + x_2 = -\frac{2m - 4m^2}{1 + m^2} = \frac{4m^2 - 2m}{1 + m^2}$

$x_1x_2 = \frac{4m^2 - 4m - 1}{1 + m^2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

$\frac{4}{1 + m^2} = (\frac{4m^2 - 2m}{1 + m^2})^2 - 4(\frac{4m^2 - 4m - 1}{1 + m^2})$

$\frac{4}{1 + m^2} = \frac{(4m^2 - 2m)^2 - 4(4m^2 - 4m - 1)(1 + m^2)}{(1 + m^2)^2}$

$4(1 + m^2) = 16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 4(4m^4 - 4m^3 - m^2 + 4m^2 - 4m - 1)$

$4 + 4m^2 = 16m^4 - 16m^3 + 4m^2 - 16m^4 + 16m^3 - 12m^2 + 16m + 4$

$0 = -12m^2 + 16m$

$0 = -4m(3m - 4)$

$m = 0, \frac{4}{3}$

(5) $m=0$ のとき、$y = 1$。円との交点は $(\pm \sqrt{1}, 1)$ で、距離は $2$。

$m = \frac{4}{3}$ のとき、$y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1 = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$。

3. 最終的な答え

$y = 1$ または $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$, つまり $4x - 3y - 5 = 0$