## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題5：三角形ABCにおいて、AB = 4, A = 75°, B = 60°のとき、CAの長さと外接円の半径Rを求めよ。

問題6：三角形ABCにおいて、AB = 3, BC = $\sqrt{7}$, CA = 2のとき、角Aの大きさを求めよ。

問題7：三角形ABCにおいて、AB = 8, BC = $3\sqrt{3}$, B = 135°のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

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2. 解き方の手順

**問題5**

1. 三角形の内角の和は180°なので、C = 180° - A - B = 180° - 75° - 60° = 45°。

2. 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{CA}{\sin B}$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = \frac{CA}{\sin 60^\circ}$

3. $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$、$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$を代入すると、

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{CA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$CA = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$

4. 外接円の半径Rは正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin C} = 2R$

$\frac{4}{\sin 45^\circ} = 2R$

$\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R$

$R = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

**問題6**

1. 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos A$

$(\sqrt{7})^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$

$7 = 9 + 4 - 12 \cos A$

2. $12 \cos A = 6$

$\cos A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

3. $\cos A = \frac{1}{2}$なので、A = 60°

**問題7**

1. 三角形の面積の公式より、

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B$

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \sin 135^\circ$

2. $\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{6}$

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3. 最終的な答え

問題5：CA = $2\sqrt{6}$、R = $2\sqrt{2}$

問題6：A = 60°

問題7：S = $6\sqrt{6}$