点 $(5,0)$ を通り、傾きが $a$ の直線が、円 $x^2 + y^2 = 9$ と異なる2点P, Qで交わるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $a$ の値の範囲を求めよ。 (2) PとQの中点をMとする。$a$ を動かすとき、点Mの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点 $(5,0)$ を通り、傾きが $a$ の直線が、円 $x^2 + y^2 = 9$ と異なる2点P, Qで交わるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $a$ の値の範囲を求めよ。

(2) PとQの中点をMとする。$a$ を動かすとき、点Mの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(5,0)$ を通り、傾きが $a$ の直線の方程式は、

$y = a(x - 5)$

$y = ax - 5a$

円 $x^2 + y^2 = 9$ と直線 $y = ax - 5a$ が異なる2点で交わる条件を求める。

直線を円の方程式に代入すると、

$x^2 + (ax - 5a)^2 = 9$

$x^2 + a^2x^2 - 10a^2x + 25a^2 = 9$

$(1 + a^2)x^2 - 10a^2x + 25a^2 - 9 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解をもつ条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = (-10a^2)^2 - 4(1 + a^2)(25a^2 - 9) > 0$

$100a^4 - 4(25a^2 - 9 + 25a^4 - 9a^2) > 0$

$100a^4 - 100a^2 + 36 - 100a^4 + 36a^2 > 0$

$-64a^2 + 36 > 0$

$64a^2 < 36$

$a^2 < \frac{36}{64} = \frac{9}{16}$

$-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}$

(2)

PとQの中点Mの座標を$(X, Y)$とする。

$X = \frac{x_1 + x_2}{2}$, $Y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

ただし、$x_1$, $x_2$ は $(1 + a^2)x^2 - 10a^2x + 25a^2 - 9 = 0$ の2つの解である。

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = \frac{10a^2}{1 + a^2}$

$X = \frac{1}{2} \cdot \frac{10a^2}{1 + a^2} = \frac{5a^2}{1 + a^2}$

$Y = a(X - 5) = a(\frac{5a^2}{1 + a^2} - 5) = a(\frac{5a^2 - 5 - 5a^2}{1 + a^2}) = \frac{-5a}{1 + a^2}$

$X = \frac{5a^2}{1 + a^2}$より、$X(1 + a^2) = 5a^2$

$X + Xa^2 = 5a^2$

$X = (5 - X)a^2$

$a^2 = \frac{X}{5 - X}$

$Y = \frac{-5a}{1 + a^2}$より、$Y^2 = \frac{25a^2}{(1 + a^2)^2} = \frac{25a^2}{1 + 2a^2 + a^4}$

$Y^2 = \frac{25(\frac{X}{5 - X})}{(1 + \frac{X}{5 - X})^2} = \frac{25\frac{X}{5 - X}}{(\frac{5}{5 - X})^2} = \frac{25X}{5 - X} \cdot \frac{(5 - X)^2}{25} = X(5 - X)$

$Y^2 = 5X - X^2$

$X^2 + Y^2 - 5X = 0$

$(X - \frac{5}{2})^2 + Y^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}$

$(X - \frac{5}{2})^2 + Y^2 = \frac{25}{4}$ は、中心 $(\frac{5}{2}, 0)$, 半径 $\frac{5}{2}$ の円を表す。

ただし、$x^2 + y^2 = 9$ の内部にある部分のみ。

$X = \frac{5a^2}{1 + a^2}$ であり、$a^2 < \frac{9}{16}$ より、

$X < \frac{5 \cdot \frac{9}{16}}{1 + \frac{9}{16}} = \frac{\frac{45}{16}}{\frac{25}{16}} = \frac{45}{25} = \frac{9}{5}$

$X > 0$ であるから、

$(X - \frac{5}{2})^2 + Y^2 = \frac{25}{4}$ で、$0 < X < \frac{9}{5}$ の部分。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{4} < a < \frac{3}{4}$

(2) $(x - \frac{5}{2})^2 + y^2 = \frac{25}{4}$ , ただし $0 < x < \frac{9}{5}$