2点A(1, 0, 2), B(2, 1, 0)を通る直線lに、点C(1, 1, 0)から垂線CHを下ろすとき、点Hの座標を求める。

1. 問題の内容

2点A(1, 0, 2), B(2, 1, 0)を通る直線lに、点C(1, 1, 0)から垂線CHを下ろすとき、点Hの座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線lの方向ベクトル $\vec{d}$ を求める。

$\vec{d} = \vec{AB} = (2-1, 1-0, 0-2) = (1, 1, -2)$

直線l上の点を点Hとすると、点Hは直線l上にあるので、実数tを用いて

$\vec{AH} = t\vec{d}$

と表せる。

$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \vec{OA} + t\vec{d} = (1, 0, 2) + t(1, 1, -2) = (1+t, t, 2-2t)$

よって、点Hの座標は$(1+t, t, 2-2t)$となる。

次に、$\vec{CH}$を求める。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (1+t, t, 2-2t) - (1, 1, 0) = (t, t-1, 2-2t)$

$\vec{CH}$は直線lに垂直であるから、$\vec{CH}$と$\vec{d}$の内積は0となる。

$\vec{CH} \cdot \vec{d} = 0$

$(t, t-1, 2-2t) \cdot (1, 1, -2) = 0$

$t + (t-1) - 2(2-2t) = 0$

$t + t - 1 - 4 + 4t = 0$

$6t - 5 = 0$

$t = \frac{5}{6}$

これを点Hの座標に代入する。

$H = (1+\frac{5}{6}, \frac{5}{6}, 2-2(\frac{5}{6})) = (\frac{11}{6}, \frac{5}{6}, 2 - \frac{5}{3}) = (\frac{11}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{3})$

3. 最終的な答え

点Hの座標は$(\frac{11}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{3})$