画像には、三角関数の値を求める問題が複数あります。具体的には以下の通りです。 (4) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\Box \leq \sin \theta \leq \Box$ を満たす値を求める。 (5) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\tan \theta = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (6) $\tan 210^\circ$ の値を求める。 (7) $\cos 300^\circ$ の値を求める。 (8) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める。 (9) $\sin 180^\circ$ の値を求める。 (10) $\cos 330^\circ$ の値を求める。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、三角関数の値を求める問題が複数あります。具体的には以下の通りです。

(4) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\Box \leq \sin \theta \leq \Box$ を満たす値を求める。

(5) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\tan \theta = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(6) $\tan 210^\circ$ の値を求める。

(7) $\cos 300^\circ$ の値を求める。

(8) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で、$\tan \theta = -\frac{2}{3}$ のとき、$\sin \theta$ の値を求める。

(9) $\sin 180^\circ$ の値を求める。

(10) $\cos 330^\circ$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(4) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、$\sin \theta$ は 0 から 1 までの値をとりえます。$\theta = 0^\circ$ のとき $\sin \theta = 0$ であり、$\theta = 90^\circ$ のとき $\sin \theta = 1$ です。よって、$0 \leq \sin \theta \leq 1$ となります。

(5) $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で $\tan \theta = 0$ となるのは、$\theta = 0^\circ$ および $\theta = 180^\circ$ のときです。

(6) $\tan 210^\circ = \tan (180^\circ + 30^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(7) $\cos 300^\circ = \cos (360^\circ - 60^\circ) = \cos (-60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$

(8) $\tan \theta = -\frac{2}{3}$ であるとき、$\sin \theta$ の値を求めます。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、$\tan \theta$ が負の値を取るとき、$\theta$ は第2象限の角です。

$\tan^2 \theta + 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ なので、 $\cos^2 \theta = \frac{1}{\tan^2 \theta + 1}$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{\frac{4}{9} + 1} = \frac{1}{\frac{13}{9}} = \frac{9}{13}$

$\cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{13}}$ ($\theta$は第2象限なので、$\cos \theta < 0$)

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、 $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$

$\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13}$

$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$ ($\theta$は第2象限なので、$\sin \theta > 0$)

(9) $\sin 180^\circ = 0$

(10) $\cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos (-30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(4) $0 \leq \sin \theta \leq 1$

(5) $\theta = 0^\circ, 180^\circ$

(6) $\tan 210^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$

(7) $\cos 300^\circ = \frac{1}{2}$

(8) $\sin \theta = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

(9) $\sin 180^\circ = 0$

(10) $\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$