問題146は、与えられた点を通る、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。 (1) 点(3, -1)を通り、直線 $y = 3x + 1$ に垂直な直線 (2) 点(1, 4)を通り、直線 $2x - 5y - 1 = 0$ に垂直な直線 (3) 点(-2, 5)を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線 (4) 点(3, 2)を通り、直線 $x = 5$ に垂直な直線

1. 問題の内容

問題146は、与えられた点を通る、与えられた直線に垂直な直線の方程式を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。

(1) 点(3, -1)を通り、直線 $y = 3x + 1$ に垂直な直線

(2) 点(1, 4)を通り、直線 $2x - 5y - 1 = 0$ に垂直な直線

(3) 点(-2, 5)を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線

(4) 点(3, 2)を通り、直線 $x = 5$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

(1) 点(3, -1)を通り、直線 $y = 3x + 1$ に垂直な直線

- 与えられた直線の傾きは3です。垂直な直線の傾きは $-\frac{1}{3}$ となります。

- 点(3, -1)を通り、傾きが $-\frac{1}{3}$ の直線の方程式は、点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて、 $y - (-1) = -\frac{1}{3}(x - 3)$ となります。

- これを整理すると、$y + 1 = -\frac{1}{3}x + 1$ より $y = -\frac{1}{3}x$ となります。

(2) 点(1, 4)を通り、直線 $2x - 5y - 1 = 0$ に垂直な直線

- 与えられた直線の方程式を $y$ について解くと、$5y = 2x - 1$ より $y = \frac{2}{5}x - \frac{1}{5}$ となります。

- 与えられた直線の傾きは $\frac{2}{5}$ です。垂直な直線の傾きは $-\frac{5}{2}$ となります。

- 点(1, 4)を通り、傾きが $-\frac{5}{2}$ の直線の方程式は、$y - 4 = -\frac{5}{2}(x - 1)$ となります。

- これを整理すると、$y - 4 = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}$ より $y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} + 4 = -\frac{5}{2}x + \frac{13}{2}$ となります。

(3) 点(-2, 5)を通り、直線 $3x + 5y + 1 = 0$ に垂直な直線

- 与えられた直線の方程式を $y$ について解くと、$5y = -3x - 1$ より $y = -\frac{3}{5}x - \frac{1}{5}$ となります。

- 与えられた直線の傾きは $-\frac{3}{5}$ です。垂直な直線の傾きは $\frac{5}{3}$ となります。

- 点(-2, 5)を通り、傾きが $\frac{5}{3}$ の直線の方程式は、$y - 5 = \frac{5}{3}(x - (-2))$ となります。

- これを整理すると、$y - 5 = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3}$ より $y = \frac{5}{3}x + \frac{10}{3} + 5 = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$ となります。

(4) 点(3, 2)を通り、直線 $x = 5$ に垂直な直線

- 与えられた直線 $x = 5$ は $y$ 軸に平行な直線です。

- これに垂直な直線は $x$ 軸に平行な直線であり、その方程式は $y = c$ の形になります。

- 点(3, 2)を通るため、$y = 2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{3}x$

(2) $y = -\frac{5}{2}x + \frac{13}{2}$

(3) $y = \frac{5}{3}x + \frac{25}{3}$

(4) $y = 2$