四面体OABCにおいて、ACの中点をP、PBの中点をQとし、CQの延長とABとの交点をRとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とするとき、 (1) $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。 (2) AR:RB, CQ:QRを求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、ACの中点をP、PBの中点をQとし、CQの延長とABとの交点をRとする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ とするとき、

(1) $\overrightarrow{OQ}$ を $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ を用いて表せ。

(2) AR:RB, CQ:QRを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点PはACの中点なので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$

点QはPBの中点なので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OB}}{2} = \frac{\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} + \vec{b}}{2} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{4}$

(2)

点RはCQの延長線上にあるので、実数kを用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-k)\overrightarrow{OC} + k\overrightarrow{OQ}$

と表せる。これを$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$で表すと、

$\overrightarrow{OR} = (1-k)\vec{c} + k\frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{4} = \frac{k}{4}\vec{a} + \frac{2k}{4}\vec{b} + (1-k+\frac{k}{4})\vec{c} = \frac{k}{4}\vec{a} + \frac{k}{2}\vec{b} + (1-\frac{3k}{4})\vec{c}$

また、点RはAB上にあるので、実数tを用いて

$\overrightarrow{OR} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

と表せる。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{k}{4} = 1-t$

$\frac{k}{2} = t$

$1-\frac{3k}{4} = 0$

最後の式より、$1 = \frac{3k}{4}$ なので、$k = \frac{4}{3}$

$t = \frac{k}{2} = \frac{4/3}{2} = \frac{2}{3}$

$\overrightarrow{OR} = (1-\frac{2}{3})\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

よって、AR:RB = 2:1

$\overrightarrow{CQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OC} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{4} - \vec{c} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}}{4}$

$\overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}) - \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{4} = (\frac{1}{3} - \frac{1}{4})\vec{a} + (\frac{2}{3} - \frac{2}{4})\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{c} = \frac{1}{12}\vec{a} + \frac{2}{12}\vec{b} - \frac{3}{12}\vec{c} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}}{12}$

$\overrightarrow{QR} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CQ}$

よって、CQ:QR = 3:1

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{OQ} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}}{4}$

(2) AR:RB = 2:1, CQ:QR = 3:1