座標平面上に2点 A(-4, -1) と B(2, 2) がある。以下の問いに答える。 (1) 2点 A, B を通る直線の方程式を求める。 (2) 線分 AB を 2:1 に内分する点と外分する点の座標を求める。 (3) 2点 A, B からの距離の比が 2:1 である点 P の軌跡を求め、その軌跡が円であることを示し、中心と半径を求める。 (4) (3)で求めた円 C と y 軸との交点の座標を求め、それらにおける接線の方程式を求め、y 軸と 2 直線 l1, l2 で囲まれた図形の面積を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 A(-4, -1) と B(2, 2) がある。以下の問いに答える。

(1) 2点 A, B を通る直線の方程式を求める。

(2) 線分 AB を 2:1 に内分する点と外分する点の座標を求める。

(3) 2点 A, B からの距離の比が 2:1 である点 P の軌跡を求め、その軌跡が円であることを示し、中心と半径を求める。

(4) (3)で求めた円 C と y 軸との交点の座標を求め、それらにおける接線の方程式を求め、y 軸と 2 直線 l1, l2 で囲まれた図形の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点 A, B を通る直線の方程式を求める。

傾き $m = (2 - (-1))/(2 - (-4)) = 3/6 = 1/2$

直線の方程式は、$y - 2 = (1/2)(x - 2)$

$2y - 4 = x - 2$

$x - 2y + 2 = 0$

(2) 線分 AB を 2:1 に内分する点の座標を求める。

内分点の公式より、

$(\frac{2(2) + 1(-4)}{2+1}, \frac{2(2) + 1(-1)}{2+1}) = (\frac{4-4}{3}, \frac{4-1}{3}) = (0, 1)$

線分 AB を 2:1 に外分する点の座標を求める。

外分点の公式より、

$(\frac{2(2) - 1(-4)}{2-1}, \frac{2(2) - 1(-1)}{2-1}) = (\frac{4+4}{1}, \frac{4+1}{1}) = (8, 5)$

(3) 2点 A, B からの距離の比が 2:1 である点 P(x, y) の軌跡を求める。

$PA = 2PB$

$PA^2 = 4PB^2$

$(x+4)^2 + (y+1)^2 = 4((x-2)^2 + (y-2)^2)$

$x^2 + 8x + 16 + y^2 + 2y + 1 = 4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4)$

$x^2 + 8x + y^2 + 2y + 17 = 4x^2 - 16x + 4y^2 - 16y + 32$

$0 = 3x^2 - 24x + 3y^2 - 18y + 15$

$0 = x^2 - 8x + y^2 - 6y + 5$

$(x^2 - 8x) + (y^2 - 6y) = -5$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = -5 + 16 + 9$

$(x-4)^2 + (y-3)^2 = 20$

これは中心 (4, 3), 半径 $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ の円である。

(4) (3) で求めた円 C と y 軸との交点の座標を求める。

$x=0$ を代入する。

$(0-4)^2 + (y-3)^2 = 20$

$16 + (y-3)^2 = 20$

$(y-3)^2 = 4$

$y-3 = \pm 2$

$y = 3 \pm 2$

$y = 1, 5$

よって交点の座標は (0, 1), (0, 5) である。ただし、$1 < 5$ とする。

(0, 1) における C の接線 l1 の方程式を求める。

円の中心 (4, 3) と点 (0, 1) を通る直線の傾きは、$(3-1)/(4-0) = 2/4 = 1/2$

接線 l1 の傾きは -2 である。(垂直条件)

接線の方程式は $y - 1 = -2(x - 0)$

$y = -2x + 1$

(0, 5) における C の接線 l2 の方程式を求める。

円の中心 (4, 3) と点 (0, 5) を通る直線の傾きは、$(5-3)/(0-4) = 2/(-4) = -1/2$

接線 l2 の傾きは 2 である。(垂直条件)

接線の方程式は $y - 5 = 2(x - 0)$

$y = 2x + 5$

y 軸と 2 直線 l1, l2 で囲まれた図形の面積を求める。

l1 と l2 の交点を求める。

$-2x + 1 = 2x + 5$

$-4x = 4$

$x = -1$

l1 と l2 は x=-1 で交わる。

l1, l2 と y 軸の交点はそれぞれ (0, 1), (0, 5)

求める面積は、三角形の面積であり、底辺 5-1 = 4, 高さ 1 となる。

したがって面積は $(1/2) \cdot 4 \cdot 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: 2

(2) ウ: 0, エ: 1, オ: 8, カ: 5

(3) キ: 4, ク: 8, ケ: 6, コ: 5, サ: 4, シ: 3, ス: 2, セ: 5

(4) ソ: 1, タ: 5, チツ: -2, テ: 1, ト: 2, ナ: 5, ニ: 2