複素数平面において、点 $z$ が原点を中心とする半径1の円から点-1を除いた円上を動くとき、点 $w = \frac{z+1}{z+i}$ がどのような図形を描くか求めます。

幾何学複素数平面図形軌跡複素数
2025/6/13

1. 問題の内容

複素数平面において、点 zz が原点を中心とする半径1の円から点-1を除いた円上を動くとき、点 w=z+1z+iw = \frac{z+1}{z+i} がどのような図形を描くか求めます。

2. 解き方の手順

w=z+1z+iw = \frac{z+1}{z+i}zz について解きます。
w(z+i)=z+1w(z+i) = z+1
wz+wi=z+1wz + wi = z + 1
wzz=1wiwz - z = 1 - wi
z(w1)=1wiz(w-1) = 1-wi
z=1wiw1z = \frac{1-wi}{w-1}
zz は原点を中心とする半径1の円上にあるので、z=1|z| = 1 です。ただし、z1z \neq -1
1wiw1=1|\frac{1-wi}{w-1}| = 1
1wi=w1|1-wi| = |w-1|
w=x+yiw = x+yiとおくと、
1xi+y=x+yi1|1-xi+y| = |x+yi-1|
(1+y)xi=(x1)+yi|(1+y)-xi| = |(x-1)+yi|
(1+y)2+(x)2=(x1)2+y2\sqrt{(1+y)^2 + (-x)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}
(1+y)2+x2=(x1)2+y2(1+y)^2 + x^2 = (x-1)^2 + y^2
1+2y+y2+x2=x22x+1+y21+2y+y^2 + x^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2
2y=2x2y = -2x
y=xy = -x
z1z \neq -1 より、w=z+1z+iw = \frac{z+1}{z+i} なので
w=1+11+i=0w = \frac{-1+1}{-1+i} = 0 ではありません。

3. 最終的な答え

ww は直線 y=xy = -x を描く。ただし、原点を除く。

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