複素数平面において、点 $z$ が原点を中心とする半径1の円から点-1を除いた円上を動くとき、点 $w = \frac{z+1}{z+i}$ がどのような図形を描くか求めます。

1. 問題の内容

複素数平面において、点 $z$ が原点を中心とする半径1の円から点-1を除いた円上を動くとき、点 $w = \frac{z+1}{z+i}$ がどのような図形を描くか求めます。

2. 解き方の手順

$w = \frac{z+1}{z+i}$ を $z$ について解きます。

$w(z+i) = z+1$

$wz + wi = z + 1$

$wz - z = 1 - wi$

$z(w-1) = 1-wi$

$z = \frac{1-wi}{w-1}$

点 $z$ は原点を中心とする半径1の円上にあるので、$|z| = 1$ です。ただし、$z \neq -1$。

$|\frac{1-wi}{w-1}| = 1$

$|1-wi| = |w-1|$

$w = x+yi$とおくと、

$|1-xi+y| = |x+yi-1|$

$|(1+y)-xi| = |(x-1)+yi|$

$\sqrt{(1+y)^2 + (-x)^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$(1+y)^2 + x^2 = (x-1)^2 + y^2$

$1+2y+y^2 + x^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

$2y = -2x$

$y = -x$

$z \neq -1$ より、$w = \frac{z+1}{z+i}$　なので

$w = \frac{-1+1}{-1+i} = 0$ ではありません。

3. 最終的な答え

$w$ は直線 $y = -x$ を描く。ただし、原点を除く。