0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で、tan θ が与えられたときに、sin θ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つのケースについて考えます。 (4) tan θ = 1/4 のとき、sin θ = ? (5) tan θ = -2/3 のとき、sin θ = ?

1. 問題の内容

0° ≤ θ ≤ 180° の範囲で、tan θ が与えられたときに、sin θ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つのケースについて考えます。

(4) tan θ = 1/4 のとき、sin θ = ?

(5) tan θ = -2/3 のとき、sin θ = ?

2. 解き方の手順

(4) tan θ = 1/4 のとき

0° ≤ θ ≤ 180° なので、sin θ は正の値を取ります。

tan θ = sin θ / cos θ なので、sin θ = tan θ * cos θ です。

また、sin^2 θ + cos^2 θ = 1 という関係式が成り立ちます。

cos θ = sin θ / tan θ を sin^2 θ + cos^2 θ = 1 に代入すると、

$sin^2 θ + (sin θ / tan θ)^2 = 1$

$sin^2 θ + sin^2 θ / tan^2 θ = 1$

$sin^2 θ (1 + 1/tan^2 θ) = 1$

$sin^2 θ = 1 / (1 + 1/tan^2 θ) = tan^2 θ / (tan^2 θ + 1)$

tan θ = 1/4 なので、$tan^2 θ = (1/4)^2 = 1/16$

$sin^2 θ = (1/16) / ((1/16) + 1) = (1/16) / (17/16) = 1/17$

sin θ = √(1/17) = 1/√17 = √17 / 17

(5) tan θ = -2/3 のとき

0° ≤ θ ≤ 180° なので、sin θ は正の値を取ります。

tan θ = sin θ / cos θ なので、sin θ = tan θ * cos θ です。

また、sin^2 θ + cos^2 θ = 1 という関係式が成り立ちます。

cos θ = sin θ / tan θ を sin^2 θ + cos^2 θ = 1 に代入すると、

$sin^2 θ + (sin θ / tan θ)^2 = 1$

$sin^2 θ + sin^2 θ / tan^2 θ = 1$

$sin^2 θ (1 + 1/tan^2 θ) = 1$

$sin^2 θ = 1 / (1 + 1/tan^2 θ) = tan^2 θ / (tan^2 θ + 1)$

tan θ = -2/3 なので、$tan^2 θ = (-2/3)^2 = 4/9$

$sin^2 θ = (4/9) / ((4/9) + 1) = (4/9) / (13/9) = 4/13$

sin θ = √(4/13) = 2/√13 = 2√13 / 13

3. 最終的な答え

(4) sin θ = √17 / 17

(5) sin θ = 2√13 / 13