大問3は、三角比に関する問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。 [1] 与えられた直角三角形における $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。 [2] $\theta$ が鈍角で $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。 [3] $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

大問3は、三角比に関する問題です。具体的には、以下の3つの問題が含まれています。

[1] 与えられた直角三角形における $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ の値を求める。

[2] $\theta$ が鈍角で $\cos \theta = -\frac{3}{4}$ のときの $\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

[3] $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と $\tan \theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

[1]

与えられた直角三角形において、三平方の定理より

$x^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2$

$x^2 = 1 + 2 = 3$

$x = \sqrt{3}$

したがって、

$\sin \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos \theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[2]

$\theta$ は鈍角なので、$\sin \theta > 0$, $\tan \theta < 0$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $60^\circ$ と $120^\circ$ である。

(2) $\tan \theta = -1$

$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\tan \theta = -1$ となる $\theta$ は $135^\circ$ である。

3. 最終的な答え

[1] $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[2] $\sin \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$, $\tan \theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3] (1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$, (2) $\theta = 135^\circ$