三角形ABCにおいて、辺ACを1:2に内分する点をD、辺BCを4:3に内分する点をEとする。線分AEと線分BDの交点をPとするとき、$a\vec{PA} + 3\vec{PB} + b\vec{PC} = \vec{0}$となるa,bの値を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ACを1:2に内分する点をD、辺BCを4:3に内分する点をEとする。線分AEと線分BDの交点をPとするとき、$a\vec{PA} + 3\vec{PB} + b\vec{PC} = \vec{0}$となるa,bの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、問題文より$\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AC}$、$\vec{AE} = \frac{3\vec{AB} + 4\vec{AC}}{7}$となります。

点Pは線分AE上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{AP} = k\vec{AE}$と表せます。

$\vec{AP} = k\frac{3\vec{AB} + 4\vec{AC}}{7} = \frac{3k}{7}\vec{AB} + \frac{4k}{7}\vec{AC}$

点Pは線分BD上にあるので、実数$l$を用いて$\vec{BP} = l\vec{BD}$と表せます。

$\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{AB} + l\vec{BD} = \vec{AB} + l(\vec{AD}-\vec{AB}) = \vec{AB} + l(\frac{1}{3}\vec{AC} - \vec{AB}) = (1-l)\vec{AB} + \frac{l}{3}\vec{AC}$

$\vec{AP}$について2つの表現が得られたので、係数を比較すると、

$\frac{3k}{7} = 1-l$

$\frac{4k}{7} = \frac{l}{3}$

これらを解いて、$k = \frac{7}{13}, l = \frac{12}{13}$を得ます。

したがって、

$\vec{AP} = \frac{3}{13}\vec{AB} + \frac{4}{13}\vec{AC}$

$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}, \vec{AB} = \vec{OB}-\vec{OA}, \vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$より、

$\vec{OP} - \vec{OA} = \frac{3}{13}(\vec{OB}-\vec{OA}) + \frac{4}{13}(\vec{OC} - \vec{OA})$

$\vec{OP} = \frac{3}{13}\vec{OB} + \frac{4}{13}\vec{OC} + (1 - \frac{3}{13} - \frac{4}{13})\vec{OA}$

$\vec{OP} = \frac{6}{13}\vec{OA} + \frac{3}{13}\vec{OB} + \frac{4}{13}\vec{OC}$

$\vec{OP}$の式を変形して、$\vec{0}$の形にしたいので、全体を13倍すると、

$13\vec{OP} = 6\vec{OA} + 3\vec{OB} + 4\vec{OC}$

$6(\vec{OA}-\vec{OP}) + 3(\vec{OB}-\vec{OP}) + 4(\vec{OC} - \vec{OP}) = \vec{0}$

$-6\vec{PA} - 3\vec{PB} - 4\vec{PC} = \vec{0}$

$6\vec{PA} + 3\vec{PB} + 4\vec{PC} = \vec{0}$

よって、$a = 6, b = 4$

3. 最終的な答え

あ: 6

い: 4