2点 $A(4, 3)$ と $B(0, -5)$ を通る直線 $l$ 上に、点 $C(6, 10, 0)$ から垂線 $CH$ を下ろしたとき、点 $H$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(4, 3)$ と $B(0, -5)$ を通る直線 $l$ 上に、点 $C(6, 10, 0)$ から垂線 $CH$ を下ろしたとき、点 $H$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 直線 $AB$ の方程式を求める。

直線 $AB$ の方向ベクトル $\vec{AB}$ は、

$$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0-4, -5-3) = (-4, -8)$$

となります。$\vec{AB} = (-4, -8)$ は $(-1, -2)$ と平行なので、直線のパラメータ表示は、

$$(x, y) = (4, 3) + t(-1, -2) = (4-t, 3-2t)$$

と表せます。

$t$ を消去するため、

$$x = 4 - t$$

$$y = 3 - 2t$$

から、

$$t = 4-x$$

$$t = \frac{3-y}{2}$$

したがって、

$$4 - x = \frac{3-y}{2}$$

$$8 - 2x = 3 - y$$

$$y = 2x - 5$$

これが直線 $l$ の方程式です。

ステップ2: 点Hの座標をパラメータ表示で表す。

点Hは直線 $l$ 上にあるので、$H(4-t, 3-2t)$ と表せます。

ステップ3: $\vec{CH}$ が $\vec{AB}$ と垂直である条件から$t$を求める。

$\vec{CH} = (4-t-6, 3-2t-10, 0-0) = (-2-t, -7-2t)$

$\vec{AB} = (-1, -2)$

$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$ なので、

$$(-2-t)(-1) + (-7-2t)(-2) = 0$$

$$2 + t + 14 + 4t = 0$$

$$5t = -16$$

$$t = -\frac{16}{5}$$

ステップ4: 点Hの座標を計算する。

$$H = \left(4-\left(-\frac{16}{5}\right), 3-2\left(-\frac{16}{5}\right)\right)$$

$$H = \left(4+\frac{16}{5}, 3+\frac{32}{5}\right)$$

$$H = \left(\frac{20+16}{5}, \frac{15+32}{5}\right)$$

$$H = \left(\frac{36}{5}, \frac{47}{5}\right)$$

したがって、$H\left(\frac{36}{5}, \frac{47}{5}\right)$

3. 最終的な答え

点Hの座標は $\left(\frac{36}{5}, \frac{47}{5}\right)$ です。