(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $A(2, -1)$ における接線 $l$ の方程式を求める。 (2) 点 $(2a, a)$ を中心とする半径 $3$ の円が直線 $x - 7y = 0$ に接するとき、正の定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $A(2, -1)$ における接線 $l$ の方程式を求める。

(2) 点 $(2a, a)$ を中心とする半径 $3$ の円が直線 $x - 7y = 0$ に接するとき、正の定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ で与えられる。

したがって、円 $x^2 + y^2 = 5$ 上の点 $A(2, -1)$ における接線の方程式は $2x - y = 5$ となる。

(2)

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

で与えられる。

円 $(x - 2a)^2 + (y - a)^2 = 9$ が直線 $x - 7y = 0$ に接するので、点 $(2a, a)$ と直線 $x - 7y = 0$ の距離が $3$ に等しい。

したがって、

$$\frac{|2a - 7a|}{\sqrt{1^2 + (-7)^2}} = 3$$

$$\frac{|-5a|}{\sqrt{50}} = 3$$

$$\frac{5|a|}{5\sqrt{2}} = 3$$

$$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 3$$

$$|a| = 3\sqrt{2}$$

$a$ は正の定数なので、$a = 3\sqrt{2}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) ア: 2, イ: 5

(2) ウ: 3, エ: 2