$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とし、線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$、辺 $OA$ の中点を $M$ とし、線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP$ と $PM$ の比を求める問題です。

2. 解き方の手順

$P$ は線分 $OL$ 上の点なので、$OP = s \vec{OL}$ と表せる。ここで $s$ は実数です。

$OL$ は、$OA$と$OB$を用いて、$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}$ と表すことができます。

したがって、$\vec{OP} = s \vec{OL} = \frac{3s}{5} \vec{OA} + \frac{2s}{5} \vec{OB}$ となります。

また、$P$ は線分 $BM$ 上の点なので、$BP:PM = t:(1-t)$ とすると、$\vec{OP} = (1-t) \vec{OB} + t \vec{OM}$ と表せる。ここで $t$ は実数です。

$M$ は $OA$ の中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2} \vec{OA}$ です。

したがって、$\vec{OP} = \frac{t}{2} \vec{OA} + (1-t) \vec{OB}$ となります。

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$ かつ $\frac{2s}{5} = 1-t$

これを解くと、

$6s = 5t$ かつ $2s = 5 - 5t$

$t = \frac{6s}{5}$ を $2s = 5 - 5t$ に代入して

$2s = 5 - 5 \cdot \frac{6s}{5}$

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

$t = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$BP:PM = t:(1-t)$ なので、

$BP:PM = \frac{3}{4} : \frac{1}{4} = 3:1$

3. 最終的な答え

$BP : PM = 3:1$