画像に示された三角関数の式を完成させる問題です。具体的には、sinをcosに、cosをsinに変換する問題と、sinθとcosθに分解する問題が含まれています。

1. 問題の内容

画像に示された三角関数の式を完成させる問題です。具体的には、sinをcosに、cosをsinに変換する問題と、sinθとcosθに分解する問題が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) sinをcosに、cosをsinに変換する問題

* $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{2}) = \cos(x - \frac{2\pi}{3}) = \cos(x + (-\frac{2}{3})\pi)$

* $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}) = \sin(2x + \frac{2\pi}{3}) = \sin(2x + \frac{2}{3}\pi)$

(2) sinθとcosθに分解する問題

* $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{3} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\cos\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta$

* $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\sin\theta \cos\frac{\pi}{4} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\theta) = \sin\theta + \cos\theta$

* $\sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) + \cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = (\sin\theta \cos\frac{2\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{2\pi}{3}) + (\cos\theta \cos\frac{\pi}{6} - \sin\theta \sin\frac{\pi}{6}) = \sin\theta(-\frac{1}{2}) - \cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2} + \cos\theta\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\theta\frac{1}{2} = -\sin\theta$

3. 最終的な答え

(1) sinをcosに、cosをsinに変換する問題

* $\sin(x - \frac{\pi}{6}) = \cos(x + (-\frac{2}{3})\pi)$

* $\cos(2x + \frac{\pi}{6}) = \sin(2x + \frac{2}{3}\pi)$

(2) sinθとcosθに分解する問題

* $\cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{2})\cos\theta + (\frac{\sqrt{3}}{2})\sin\theta$

* $\sqrt{2}\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = (1)\cos\theta + (1)\sin\theta$

* $\sin(\theta - \frac{2\pi}{3}) + \cos(\theta + \frac{\pi}{6}) = (-1)\sin\theta$