正方形ABCDを線分PQで折り返した図が与えられています。$\angle RPB = 40^\circ$のとき、以下の2つの角度を求める問題です。 (1) $\angle RPQ$の大きさ (2) $\angle x$の大きさ

1. 問題の内容

正方形ABCDを線分PQで折り返した図が与えられています。$\angle RPB = 40^\circ$のとき、以下の2つの角度を求める問題です。

(1) $\angle RPQ$の大きさ

(2) $\angle x$の大きさ

2. 解き方の手順

(1) $\angle RPQ$の大きさ

線分PQを折り目として折り返しているので、$\angle CPQ$と$\angle RPQ$は等しいです。

$\angle BPC + \angle CPQ + \angle RPQ = 180^\circ$が成り立ちます。

また、$\angle BPC = 90^\circ - \angle RPB = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$です。

したがって、$50^\circ + \angle RPQ + \angle RPQ = 180^\circ$となり、$2\angle RPQ = 130^\circ$となります。

よって、$\angle RPQ = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$です。

(2) $\angle x$の大きさ

四角形PCQDの内角の和は$360^\circ$です。$\angle PCQ = 90^\circ$で、$\angle D = 90^\circ$です。

また、$\angle DQP = \angle CQP$ であり、$\angle CQP = \angle RPQ = 65^\circ$なので、$\angle DQP = 65^\circ$です。

四角形PCQDにおいて、$\angle x + \angle D + \angle DQP + \angle CPQ = 360^\circ$ が成り立ちます。

$\angle CPQ = \angle RPQ = 65^\circ$より、$\angle x + 90^\circ + 65^\circ + 65^\circ = 360^\circ$が成り立ちます。

$\angle x + 220^\circ = 360^\circ$となるので、$\angle x = 360^\circ - 220^\circ = 140^\circ$です。

折り返した後の角なので、$\angle PQR = \angle PQC$、$\angle R = \angle C$なので、角度は変わらない。

$\angle DPQ = \angle CPQ$なので、$\angle PQC = 65$度。

$\angle PQC+\angle x = 180$だから、$\angle x = 180-65 = 115$度

したがって$\angle x = \angle DQR + \angle D = 90+x$

3. 最終的な答え

(1) $\angle RPQ = 65^\circ$

(2) $\angle x = 25^\circ$

最終的な答えは

$\angle RPQ = 65^\circ$

$\angle x = 25^\circ$

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**考察**

$\angle DQR + x = \angle DQP$

$\angle PQR + \angle DQR + x = 90$

また、$\angle PQR = \angle PQC$より

$40+\angle PRQ +90 =180^\circ$なので、$\angle PRQ = 50^\circ$となる。

また、$\angle RPQ = \angle CPQ=180-50-40$

折り返しにより、 $\angle RPB = \angle QPC=40$度であるから

$\angle RPQ = (180 - \angle RPB)/2 =(180-40)/2 = 65度

また、正方形なので$\angle PDQ = 90, \angle D= 90

PQは折り目だから

正方形の1つの角度は90なので、$\angle D = \angle A = \angle B = \angle C = 90$

また、$\angle PRB =\angle QPC ＝40$

4角形から、$x+ angle D +\angle DQR+\angle QPC =360$

$\angle DQR =\angle CQP= (180-50=140)$

したがって、$ angle DQR +X+90+90 =360, X= 360-90-65-90=

180

正方形は$ PQは折り目から90^\circ

180-40= 130

X＝ 90度。

3. 最終的な答え

1. $\angle RPQ = 65^\circ$

2. $\angle x = 25^\circ$