$\triangle ABC$と$\triangle DEF$において、$\angle B = \angle E = 90^\circ$, $AB = DE$, $AC = DF$のとき、$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$が成り立つことを、直角三角形の合同条件である「対応する斜辺と1鋭角が等しい（直角三角形の斜辺と一鋭角相等）」を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$と$\triangle DEF$において、$\angle B = \angle E = 90^\circ$, $AB = DE$, $AC = DF$のとき、$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$が成り立つことを、直角三角形の合同条件である「対応する斜辺と1鋭角が等しい（直角三角形の斜辺と一鋭角相等）」を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$と$\triangle DEF$が直角三角形であること、および斜辺の長さが等しい（$AC = DF$）ことは仮定からわかっています。あとは、一組の鋭角が等しいことを証明すれば良いです。

三平方の定理より、

$BC^2 = AC^2 - AB^2$

$EF^2 = DF^2 - DE^2$

ここで、$AC = DF$かつ$AB = DE$であるから、

$BC^2 = AC^2 - AB^2 = DF^2 - DE^2 = EF^2$

したがって、$BC^2 = EF^2$なので、$BC = EF$となります。（辺の長さは正であるため）

$\triangle ABC$と$\triangle DEF$において、

* $AB = DE$ (仮定)

* $BC = EF$ (上記より)

* $\angle B = \angle E = 90^\circ$ (仮定)

したがって、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$。

したがって$\angle C = \angle F$となり、$\angle A = 90^{\circ} - \angle C$かつ$\angle D = 90^{\circ} - \angle F$であるので、$\angle A = \angle D$。

$\triangle ABC$と$\triangle DEF$において、

* $\angle B = \angle E = 90^{\circ}$

* $AC=DF$

* $\angle A = \angle D$

したがって、直角三角形の合同条件である「斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい」から、$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$。

3. 最終的な答え

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$