長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが移動した点をEとし、辺ADと辺CEの交点をFとする。 (1) $\triangle AEF$と合同な三角形を選ぶ。 (2) $\triangle FAC$はどんな三角形になるか答える。

1. 問題の内容

長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが移動した点をEとし、辺ADと辺CEの交点をFとする。

(1) $\triangle AEF$と合同な三角形を選ぶ。

(2) $\triangle FAC$はどんな三角形になるか答える。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle AEF$と$\triangle CDF$について考える。

まず、折り返しの性質より、$AB = AE$, $BC = EC$である。

長方形の性質より、$AD \parallel BC$なので、$\angle D = 90^\circ$。

また、$\angle ABC = 90^\circ$なので、$\angle AEC = 90^\circ$。

$\angle EAF = \angle DAC$（共通）

$\angle AEF = \angle ABC$ (折り返し）

$\angle AFE$と$\angle CFD$は対頂角なので等しい。

また、長方形ABCDなので、$AD=BC$.

$AE=AB$かつ$BC=EC$より、$AD=EC$.

$\triangle AFE$と$\triangle CFD$において、

$\angle AFE = \angle CFD$ (対頂角)

$\angle FAE = \angle DCF$ (平行線の錯角)

よって$\triangle AFE \sim \triangle CFD$

$\angle EAF = \angle DCF$より、$\triangle AFE$と$\triangle CFD$の2角が等しく、かつ$AD=EC$なので、$AF=CF$。よって、$\triangle AFE \equiv \triangle CDF$。

(2)

$\triangle FAC$について考える。

$AF = CF$であることは(1)で示した。

よって、$\triangle FAC$は二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) $\triangle CDF$

(2) 二等辺三角形