問題1：$|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3, |\vec{a}+2\vec{b}|=2\sqrt{10}$ を満たすとき、以下の値を求める。 (1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$ (2) $|2\vec{a} - \vec{b}|^2$ (3) $(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ (4) $|\vec{a} - \vec{b}|$ 問題3：2つのベクトル $\vec{a}=(-3,2), \vec{b}=(1,2), \vec{c}=(-1,2)$ について、以下の問いに答える。 (1) $\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表す。 (2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直になるような定数 $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題1：$|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=3, |\vec{a}+2\vec{b}|=2\sqrt{10}$ を満たすとき、以下の値を求める。

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2) $|2\vec{a} - \vec{b}|^2$

(3) $(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

(4) $|\vec{a} - \vec{b}|$

問題3：2つのベクトル $\vec{a}=(-3,2), \vec{b}=(1,2), \vec{c}=(-1,2)$ について、以下の問いに答える。

(1) $\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表す。

(2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直になるような定数 $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $|\vec{a}+2\vec{b}|=2\sqrt{10}$ の両辺を2乗する。

$|\vec{a}+2\vec{b}|^2 = (2\sqrt{10})^2$

$|\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 40$

$4^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4(3^2) = 40$

$16 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 36 = 40$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = -12$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $|2\vec{a} - \vec{b}|^2$ を展開する。

$|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})$

$= 4|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4(4^2) - 4(-3) + 3^2$

$= 4(16) + 12 + 9$

$= 64 + 12 + 9$

$= 85$

(3) $(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ を展開する。

$(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2$

$= 3|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{b}|^2$

$= 3(4^2) - 2(-3) - 3^2$

$= 3(16) + 6 - 9$

$= 48 + 6 - 9$

$= 45$

(4) $|\vec{a} - \vec{b}|^2$ を計算し、平方根を取る。

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

$= |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$= 4^2 - 2(-3) + 3^2$

$= 16 + 6 + 9$

$= 31$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{31}$

問題3

(1) $\vec{a} + t\vec{b}$ を成分で表す。

$\vec{a} + t\vec{b} = (-3, 2) + t(1, 2)$

$= (-3 + t, 2 + 2t)$

(2) $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{c}$ が垂直である条件は、内積が0であること。

$(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$

$(-3+t, 2+2t) \cdot (-1, 2) = 0$

$(-3+t)(-1) + (2+2t)(2) = 0$

$3 - t + 4 + 4t = 0$

$3t = -7$

$t = -\frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3$

(2) $|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 85$

(3) $(3\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 45$

(4) $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{31}$

問題3

(1) $\vec{a} + t\vec{b} = (-3 + t, 2 + 2t)$

(2) $t = -\frac{7}{3}$