四面体OABCにおいて、AB=5, BC=7, CA=8, OA=OB=OC=7である。 (1) ∠BACの大きさと、△ABCの外接円の半径Rを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、AB=5, BC=7, CA=8, OA=OB=OC=7である。

(1) ∠BACの大きさと、△ABCの外接円の半径Rを求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠BACの大きさを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos∠BAC$

$7^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cos∠BAC$

$49 = 25 + 64 - 80 \cos∠BAC$

$80 \cos∠BAC = 25 + 64 - 49$

$80 \cos∠BAC = 40$

$\cos∠BAC = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}$

よって、$∠BAC = 60^\circ$

次に、△ABCの外接円の半径Rを求める。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin∠BAC} = 2R$

$\frac{7}{\sin60^\circ} = 2R$

$\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

∠BAC = $60^\circ$

R = $\frac{7\sqrt{3}}{3}$