円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=CD=2$, $BC=3$, $\angle DAB = 120^\circ$である。 (1) 対角線BDと辺ADの長さを求めよ。 (2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=CD=2$, $BC=3$, $\angle DAB = 120^\circ$である。

(1) 対角線BDと辺ADの長さを求めよ。

(2) 四角形ABCDの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ABD$において、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle DAB}$

$BD^2 = 2^2 + AD^2 - 2 \cdot 2 \cdot AD \cdot \cos{120^\circ}$

$BD^2 = 4 + AD^2 + 2AD$

次に、円に内接する四角形ABCDにおいて、$\angle BCD = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\triangle BCD$において、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos{\angle BCD}$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ}$

$BD^2 = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$

したがって、$BD = \sqrt{7}$

$BD^2 = 4 + AD^2 + 2AD = 7$

$AD^2 + 2AD - 3 = 0$

$(AD+3)(AD-1) = 0$

$AD > 0$より、$AD = 1$

(2)

四角形ABCDの面積Sは、$\triangle ABD$と$\triangle BCD$の面積の和である。

$\triangle ABD = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{\angle DAB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle BCD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin{\angle BCD} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $BD = \sqrt{7}$, $AD = 1$

(2) $2\sqrt{3}$