$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ で、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

$|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ で、$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

$\vec{a} + \vec{b}$ と $2\vec{a} - 5\vec{b}$ が垂直であることから、内積が0となる。つまり、

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$

これを展開すると、

$2\vec{a} \cdot \vec{a} - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 5\vec{b} \cdot \vec{b} = 0$

$2|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

ここで $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 1$ を代入すると、

$2(2^2) - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5(1^2) = 0$

$8 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 5 = 0$

$3 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

よって、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\theta}$ なので、

$1 = 2 \cdot 1 \cdot \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta \leq \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3}$