一辺の長さが4の正八面体の表面積と体積を求め、さらにこの正八面体に内接する球の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが4の正八面体の表面積と体積を求め、さらにこの正八面体に内接する球の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正八面体は正四角錐を2つ底面で貼り合わせた形をしていると考えます。正四面体2つでも解けますが、少し難しいので、正四角錐に分解することにします。

正四角錐の一つの底面積は、$4 \times 4 = 16$ です。

正四角錐の高さは、$2\sqrt{2}$ です。これは、底面の対角線の半分、$2\sqrt{2}$が高さになるからです。

したがって、正八面体の体積は、$2 \times \frac{1}{3} \times 16 \times 2\sqrt{2} = \frac{64\sqrt{2}}{3}$ です。

正八面体は、各面が正三角形で構成されています。一つの正三角形の面積は、$\frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}$ です。正八面体は8つの正三角形からなるので、表面積は $8 \times 4\sqrt{3} = 32\sqrt{3}$ です。

次に、正八面体に内接する球の体積を求めます。正八面体の中心から各面までの距離が、内接球の半径となります。正三角形の一つの面を考えます。内接球の半径をrとすると、正八面体の体積は、正四面体の体積の公式を用いて、$8 \times \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times r$ とも表せます。つまり、

$\frac{64\sqrt{2}}{3} = 8 \times \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times r$

$64\sqrt{2} = 32\sqrt{3} \times r$

$r = \frac{64\sqrt{2}}{32\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

内接球の体積は、$\frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{2\sqrt{6}}{3})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{8 \times 6 \sqrt{6}}{27}) = \frac{4}{3} \pi (\frac{48 \sqrt{6}}{27}) = \frac{4}{3} \pi (\frac{16 \sqrt{6}}{9}) = \frac{64\sqrt{6}}{27}\pi$ です。

3. 最終的な答え

表面積：$32\sqrt{3}$

体積：$\frac{64\sqrt{2}}{3}$

内接する球の体積：$\frac{64\sqrt{6}}{27}\pi$