三角形ABCにおいて、$b=2, c=\sqrt{2}, C=30^\circ$のとき、$a, A, B$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=2, c=\sqrt{2}, C=30^\circ$のとき、$a, A, B$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を使って角$B$を求めます。

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{2}{\sin B} = \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ}$

$\sin B = \frac{2\sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、$B = 45^\circ$ または $B = 135^\circ$ です。

ケース1: $B = 45^\circ$ の場合

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ$

正弦定理を使って$a$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin (60^\circ + 45^\circ)}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)$

$= 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{12}}{2} + \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} + \frac{2}{2} = \sqrt{3} + 1$

ケース2: $B = 135^\circ$ の場合

$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

正弦定理を使って$a$を求めます。

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin (45^\circ - 30^\circ)}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ)$

$= 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) = 2\sqrt{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{12}}{2} - \frac{\sqrt{4}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{2}{2} = \sqrt{3} - 1$

3. 最終的な答え

ケース1: $a = \sqrt{3} + 1$, $A = 105^\circ$, $B = 45^\circ$

ケース2: $a = \sqrt{3} - 1$, $A = 15^\circ$, $B = 135^\circ$