2点 $(-2, 1)$ と $(-1, 0)$ を通り、$y$軸に接する円の方程式を求める。

1. 問題の内容

2点 $(-2, 1)$ と $(-1, 0)$ を通り、$y$軸に接する円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ とおく。

$y$軸に接するので、$|a| = r$ である。したがって、円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2$

と表せる。

この円が点 $(-2, 1)$ と $(-1, 0)$ を通るので、以下の2つの式が成り立つ。

$(-2 - a)^2 + (1 - b)^2 = a^2$

$(-1 - a)^2 + (0 - b)^2 = a^2$

展開すると、

$(a + 2)^2 + (1 - b)^2 = a^2$

$(a + 1)^2 + b^2 = a^2$

整理すると、

$a^2 + 4a + 4 + 1 - 2b + b^2 = a^2$

$a^2 + 2a + 1 + b^2 = a^2$

さらに整理すると、

$4a - 2b + b^2 + 5 = 0$

$2a + b^2 + 1 = 0$

2つ目の式より $b^2 = -2a - 1$。これを1つ目の式に代入すると、

$4a - 2b + (-2a - 1) + 5 = 0$

$2a - 2b + 4 = 0$

$a - b + 2 = 0$

$b = a + 2$

これを$b^2 = -2a - 1$に代入すると、

$(a + 2)^2 = -2a - 1$

$a^2 + 4a + 4 = -2a - 1$

$a^2 + 6a + 5 = 0$

$(a + 1)(a + 5) = 0$

したがって、$a = -1$ または $a = -5$。

(i) $a = -1$ のとき、$b = a + 2 = -1 + 2 = 1$。よって円の方程式は $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (-1)^2 = 1$。

(ii) $a = -5$ のとき、$b = a + 2 = -5 + 2 = -3$。よって円の方程式は $(x + 5)^2 + (y + 3)^2 = (-5)^2 = 25$。

3. 最終的な答え

$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ または $(x + 5)^2 + (y + 3)^2 = 25$