一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとする。線分MGの長さ、∠DGMの角度、△DGMの面積、四面体CDMGの体積、頂点Cから平面DGMへ下ろした垂線CPの長さを求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが2である立方体ABCD-EFGHにおいて、辺ABの中点をMとする。線分MGの長さ、∠DGMの角度、△DGMの面積、四面体CDMGの体積、頂点Cから平面DGMへ下ろした垂線CPの長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

ア：MGの長さを求める。

MはABの中点なので、AM = MB = 1である。

△MBGは直角三角形なので、三平方の定理より

$MG = \sqrt{MB^2 + BG^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

イ：∠DGMを求める。

$DG = \sqrt{AD^2 + AG^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$

$DM = \sqrt{AD^2 + AM^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

△DGMにおいて、余弦定理を用いると

$\cos ∠DGM = \frac{DG^2 + MG^2 - DM^2}{2 * DG * MG} = \frac{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 * 2\sqrt{2} * \sqrt{5}} = \frac{8}{4\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$

$∠DGM = \arccos(\frac{\sqrt{10}}{5}) \approx 50.77^\circ$

エ：△DGMの面積を求める。

$\sin^2 ∠DGM + \cos^2 ∠DGM = 1$

$\sin ∠DGM = \sqrt{1 - \cos^2 ∠DGM} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{10}}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

△DGMの面積 $= \frac{1}{2} * DG * MG * \sin ∠DGM = \frac{1}{2} * 2\sqrt{2} * \sqrt{5} * \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{\sqrt{30 * 15}}{5} = \frac{\sqrt{450}}{5} = \frac{15\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$

オ、カ：四面体CDMGの体積を求める。

四面体CDMGの体積は、三角錐CDMGの体積である。底面を△CDMとすると、高さはCG=2である。

△CDMの面積 $= \frac{1}{2} * CD * AM = \frac{1}{2} * 2 * 1 = 1$

四面体CDMGの体積 $= \frac{1}{3} * △CDM * CG = \frac{1}{3} * 1 * 2 = \frac{2}{3}$

キ、ク：頂点Cから平面DGMへ下ろした垂線CPの長さを求める。

四面体CDMGの体積 $= \frac{1}{3} * △DGM * CP$

$\frac{2}{3} = \frac{1}{3} * 3\sqrt{2} * CP$

$CP = \frac{2}{3} * \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

ア：$\sqrt{5}$

イ：$50.77^\circ$

エ：$3\sqrt{2}$

オ：2

カ：3

キ：$\sqrt{2}$

ク：3