(1) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $AC=6$, $\angle A = 60^\circ$のとき、頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ線分AMの長さを求める。 (2) 円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=1$, $BC=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$, $DA=2$とする。このとき、$\cos A$と$BD$を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $AC=6$, $\angle A = 60^\circ$のとき、頂点Aと辺BCの中点Mを結ぶ線分AMの長さを求める。

(2) 円に内接する四角形ABCDがあり、$AB=1$, $BC=\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{3}$, $DA=2$とする。このとき、$\cos A$と$BD$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\triangle ABC$において余弦定理を用いて$BC$の長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 16 + 36 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 52 - 24 = 28$

$BC = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

MはBCの中点なので、$BM = CM = \frac{BC}{2} = \sqrt{7}$

次に、$\triangle ABM$において余弦定理を用いて$AM$の長さを求める。

$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos B$

$\triangle ABC$で正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\sin B = \frac{AC \sin A}{BC} = \frac{6 \sin 60^\circ}{2\sqrt{7}} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$\cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - (\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}})^2 = 1 - \frac{27}{28} = \frac{1}{28}$

$\cos B = \frac{1}{2\sqrt{7}}$

$AM^2 = 4^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{1}{2\sqrt{7}}$

$AM^2 = 16 + 7 - 4 = 19$

$AM = \sqrt{19}$

(2)

四角形ABCDは円に内接するので、$C = 180^\circ - A$

$\cos C = \cos(180^\circ - A) = - \cos A$

$\triangle ABD$と$\triangle BCD$で余弦定理を用いて$BD^2$を表す。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos A = 5 - 4\cos A$

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot (-\cos A) = 2 + 3 + 2\sqrt{6}\cos A = 5 + 2\sqrt{6}\cos A$

$5 - 4\cos A = 5 + 2\sqrt{6}\cos A$

$-4\cos A = 2\sqrt{6}\cos A$

$(2\sqrt{6}+4)\cos A = 0$

$\cos A = 0$

$BD^2 = 5 - 4\cos A = 5 - 4(0) = 5$

$BD = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $AM = \sqrt{19}$

(2) $\cos A = 0$, $BD = \sqrt{5}$