三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠BAC=120°のとき、三角形ABCの面積を求める。また、∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2, AC=3, ∠BAC=120°のとき、三角形ABCの面積を求める。また、∠BACの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積を求める。

三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$ を用いる。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin{∠BAC} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin{120°} = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) ADの長さをxとする。

三角形ABCの面積は、三角形ABDの面積と三角形ACDの面積の和に等しいので、

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ が成り立つ。

ここで、∠BAD = ∠CAD = 60° である。

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD \times \sin{∠BAD} = \frac{1}{2} \times 2 \times x \times \sin{60°} = \frac{1}{2} \times 2 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}x}{2}$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times AD \times \sin{∠CAD} = \frac{1}{2} \times 3 \times x \times \sin{60°} = \frac{1}{2} \times 3 \times x \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}x}{4}$

$S_{ABC} = S_{ABD} + S_{ACD}$ より

$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}x}{2} + \frac{3\sqrt{3}x}{4}$

両辺に $\frac{4}{\sqrt{3}}$ をかけると、

$6 = 2x + 3x$

$6 = 5x$

$x = \frac{6}{5}$

よって、ADの長さは $\frac{6}{5}$ である。

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

ADの長さは $\frac{6}{5}$