一辺の長さが$\sqrt{7}$の正三角形$ABC$があり、$\triangle ABC$の外接円上に点$D$を、弧$CA$上で、$CD=1$を満たすように取る。線分$AC$と$BD$の交点を$E$とする。 (1) $\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$の面積, $\triangle ACD$の内接円の半径を求める。 (2) $AE:EC$, $\triangle CDE$の面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが$\sqrt{7}$の正三角形$ABC$があり、$\triangle ABC$の外接円上に点$D$を、弧$CA$上で、$CD=1$を満たすように取る。線分$AC$と$BD$の交点を$E$とする。

(1) $\angle ADC$, $AD$, $\triangle ACD$の面積, $\triangle ACD$の内接円の半径を求める。

(2) $AE:EC$, $\triangle CDE$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\angle ADC$について:

円周角の定理より、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

* $AD$について:

$\triangle ADC$において、余弦定理より、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$(\sqrt{7})^2 = AD^2 + 1^2 - 2 \cdot AD \cdot 1 \cdot \cos{120^\circ}$

$7 = AD^2 + 1 - 2 \cdot AD \cdot (-\frac{1}{2})$

$AD^2 + AD - 6 = 0$

$(AD+3)(AD-2) = 0$

$AD>0$より、$AD = 2$

* $\triangle ACD$の面積について:

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{\angle ADC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

* $\triangle ACD$の内接円の半径$r$について:

$\triangle ACD = \frac{1}{2}r(AD+CD+AC)$

$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}r(2+1+\sqrt{7})$

$r = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{9-7} = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{2}$

(2)

* $AE:EC$について:

$\triangle ABE$と$\triangle CDE$において、$\angle BAE=\angle DCE$ (円周角の定理)と $\angle AEB = \angle CED$ (対頂角)より、$\triangle ABE \sim \triangle CDE$

よって、$AE:EC = AB:CD = \sqrt{7}:1$

* $\triangle CDE$の面積について:

$\triangle ADE : \triangle CDE = AE:EC = \sqrt{7}:1$

$\triangle ADC = \triangle ADE + \triangle CDE = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle CDE = \frac{1}{\sqrt{7}+1} \cdot \triangle ADC = \frac{1}{\sqrt{7}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}-1)}{2(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}-1)}{2(7-1)} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{7}-1)}{12} = \frac{\sqrt{21}-\sqrt{3}}{12}$

面積は$\frac{\sqrt{21-6\sqrt{7}+3}}{12}$ではない。正三角形ABCの一辺の長さが$\sqrt{7}$であるとき、その面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{7})^2=\frac{7\sqrt{3}}{4}$である。

3. 最終的な答え

$\angle ADC = 120^\circ$

$AD=2$

$\triangle ACD$の面積は$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ACD$の内接円の半径は$\frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{7})}{2}$

$AE:EC = \sqrt{7}:1$

$\triangle CDE$の面積は$\frac{\sqrt{21}-\sqrt{3}}{12}$