三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、線分BPと線分PMの比（BP:PM）を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、線分BPと線分PMの比（BP:PM）を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベクトルを用いて点Pの位置を表現します。

(1) $\vec{OP}$を$\vec{OL}$と$\vec{OB}$の線形結合で表す。

点Pは線分OL上にあるので、実数 $s$ を用いて、

$\vec{OP} = s \vec{OL}$

と表せる。

また、点Lは辺ABを2:3に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

したがって、

$\vec{OP} = s (\frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}) = \frac{3s}{5}\vec{OA} + \frac{2s}{5}\vec{OB}$

(2) $\vec{OP}$を$\vec{OM}$と$\vec{OB}$の線形結合で表す。

点Pは線分BM上にあるので、実数 $t$ を用いて、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

と表せる。

点Mは辺OAの中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t(\frac{1}{2}\vec{OA}) = \frac{t}{2}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

(3) $\vec{OA}$と$\vec{OB}$の係数を比較する。

(1)と(2)で$\vec{OP}$を表現できたので、

$\frac{3s}{5}\vec{OA} + \frac{2s}{5}\vec{OB} = \frac{t}{2}\vec{OA} + (1-t)\vec{OB}$

$\vec{OA}$と$\vec{OB}$は一次独立なので、係数を比較して、

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$

$\frac{2s}{5} = 1-t$

(4) $s$と$t$を求める。

上の2つの式から、$s$と$t$を求める。

まず、一つ目の式から $t = \frac{6s}{5}$ を得る。

これを二つ目の式に代入すると、

$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

よって、$t = \frac{6}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

(5) $\vec{BP}$と$\vec{PM}$の比を求める。

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$より、

$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

$\vec{OP} - \vec{OB} = \frac{3}{4}(\vec{OM}-\vec{OB})$

$\vec{BP} = \frac{3}{4}\vec{BM}$

したがって、$\vec{BP} = \frac{3}{4}\vec{BM}$ であるから、$BP:PM = 3:1$

3. 最終的な答え

BP:PM = 3:1